Question

13．如圖1，△ABC中，AB=14，BC=15，AC=13
（1）sinB=$\frac{4}{5}$，△ABC的面積為84；
（2）如圖2，點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/s的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過P作PE∥AB、PD∥AC分別交AC、AB邊于E、D點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；
①是否存在唯一的t值，使四邊形PEAD的面積為S？若存在，求S值；若不存在，說明理由；
②如圖3，將△PDE沿DE折疊至△QDE位置，連BQ、CQ，當(dāng)t為何值時(shí)，2BQ=CQ．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，則CD=BC-BD=15-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BD，再由勾股定理求出AD，即可得出sinB的值和△ABC的面積；
（2）過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，PN⊥AB于N，則PN∥CM，由平行線證出△BPN∽△BCM，得出$\frac{PN}{BP}=\frac{CM}{BC}$=$\frac{4}{5}$，求出CM=12，PN=$\frac{4}{5}t$，同理：$PE=\frac{14}{15}（15-t）$，證明四邊形PEAD是平行四邊形，由平行四邊形的面積公式得出S_{四邊形PEAD}=PE•PN=$-\frac{56}{75}{t^2}+\frac{56}{5}t=-\frac{56}{75}{（t-\frac{15}{2}）^2}+42$，即可得出結(jié)論；
（3）連接CQ，證出四邊形PEAD是平行四邊形，得出AE=PD，PE=AD，∠A=∠DPE，由翻折性質(zhì)得出PE=QE=AD，QD=PD=AE，由SSS證明△ADE≌△QED，得出∠AED=∠QDE，因此∠QDA=∠AEQ，由鄰補(bǔ)角得出∠QDB=∠QEC，證明△CEQ∽△QDB，得出$\frac{CQ}{BQ}=\frac{EC}{QD}=\frac{QE}{BD}=2$，因此EC=2QD=2DP=2AE，由平行線得出比例式，得出BP=5，求出t=5即可．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，如圖1所示：
設(shè)BD=x，則CD=BC-BD=15-x，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得：AD²=AB²-BD²，AD²=AC²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，
即14²-x²=13²-（15-x）²，
解得：x=8.4，
∴BD=8.4，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{4}^{2}-8．{4}^{2}}$=11.2，
∴sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{11.2}{14}$=$\frac{4}{5}$，△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×15×11.2=84；
故答案為：$\frac{4}{5}$，84；
（2）存在，理由如下：過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，PN⊥AB于N，如圖2所示：
則PN∥CM，
∴△BPN∽△BCM，
∴$\frac{PN}{BP}=\frac{CM}{BC}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{PN}{t}=\frac{CM}{15}=\frac{4}{5}$，
∴CM=12，PN=$\frac{4}{5}t$，
同理：$PE=\frac{14}{15}（15-t）$，
∵PE∥AB、PD∥AC，
∴四邊形PEAD是平行四邊形，
∴S_{四邊形PEAD}=PE•PN=$-\frac{56}{75}{t^2}+\frac{56}{5}t=-\frac{56}{75}{（t-\frac{15}{2}）^2}+42$，
∴當(dāng)t=$\frac{15}{2}$時(shí)，S有最大值為42；

（3）連接CQ，如圖3所示：
∵PE∥AB、PD∥AC，
∴四邊形PEAD是平行四邊形，
∴AE=PD，PE=AD，∠A=∠DPE，
由翻折可知：PE=QE=AD，QD=PD=AE，
在△ADE和△QED中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=QE}&{\;}\\{AE=QD}&{\;}\\{DE=ED}&{\;}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△QED（SSS），
∴∠AED=∠QDE，
∴∠QDA=∠AEQ，
∴∠QDB=∠QEC，
∵PE∥AB、PD∥AC，
∴△BDP∽△BAC，△BAC∽△PEC，
△BDP∽△PEC，
∴$\frac{PD}{BD}=\frac{CE}{PE}=\frac{CE}{QE}$，
又∠QDB=∠QEC，
∴△CEQ∽△QDB，
∴$\frac{CQ}{BQ}=\frac{EC}{QD}=\frac{QE}{BD}=2$，
∴EC=2QD=2DP=2AE，
∵PE∥AB，
∴$\frac{CP}{CB}=\frac{CE}{CA}=\frac{2}{3}$，
∴CP=10，BP=5，
∴t=5；
即當(dāng)t=5時(shí)，2BQ=CQ．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了勾股定理、三角函數(shù)定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（3）中，需要證明三角形全等和三角形相似才能得出結(jié)論．