Question

【題目】已知：正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上，設點B（4，4），點P（t，0）是x軸上一動點，過點O作OH⊥AP于點H，直線OH交直線BC于點D，連AD．

（1）如圖1，當點P在線段OC上時，求證：OP＝CD；

（2）在點P運動過程中，△AOP與以A、B、D為頂點的三角形相似時，求t的值；

（3）如圖2，拋物線y＝﹣x2+x+4上是否存在點Q，使得以P、D、Q、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 綜上，t1＝2，t2＝，t3＝;(3)見解析.

【解析】

（1）證，可以證明它們所在的三角形全等，即證明：；已知的條件有：，，只需再找出一組對應角相等即可，通過圖示可以發(fā)現(xiàn)、是同角的余角，這兩個角相等，那么證明三角形全等的全部條件都已得出，則結論可證；

（2）點在軸上運動，那么就需分三種情況討論：

①點在軸負半軸上；可以延續(xù)（1）的解題思路，先證明、全等，那么得到的條件是，然后用表示、的長，再根據給出的相似三角形得到的比例線段，列等式求出此時的值，要注意的正負值的判斷；

②點在線段上時；由于、都小于等于正方形的邊長（即、），所以只有時，給出的兩個三角形才有可能相似（此時是全等），可據此求出的值；

③點在點的右側時；方法同①；

（3）這道題要分兩種情況討論：

①線段為平行四邊形的對角線，那么點、關于的中點對稱即兩點的縱坐標互為相反數，而，即、的橫坐標相同，那么先用表示出點的坐標，代入拋物線的解析式中，即可確定的值；

②線段為平行四邊形的邊；先用表示出的長，把點向左或向右平移長個單位就能表達出點的坐標，代入拋物線解析式后即可得到的值.

（1）證明：∵OD⊥AH，

∴∠OAP＝∠DOC＝90°﹣∠AOD；

正方形OABC中，OA＝OC＝4，∠AOP＝∠OCD＝90°，即：

∵，

∴△AOP≌△OCD

∴OP＝CD．

（2）解：①點P在x軸負半軸上時，P（t，0），且t＜0，如圖①；

∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，

∴∠POH＝∠PAO＝90°﹣∠APO；

又∵∠POH＝∠COD，

∴∠COD＝∠PAO；

在△AOP與△OCD中，

∵，

∴△AOP≌△OCD；

∴OP＝CD＝﹣t，則：BD＝BC+CD＝4﹣t；

若△AOP與以A、B、D為頂點的三角形相似，則有：

，得：，

解得：或（正值舍去）；

②當點P在線段OC上時，P（t，0），0＜t≤4，如圖②；

因為OP＜OA、BD＜AB、OA＝AB，

若△AOP與以A、B、D為頂點的三角形相似，那么有：，所以OP＝BD，即：

t＝4﹣t，t＝2；

③當點P在點C右側時，P（t，0），t＞4，如圖③；

同①可求得；

綜上，t1＝2，，．

（3）解：假設存在符合條件的點Q，分兩種情況討論：

①PC為平行四邊形的對角線，則QP∥CD，且QP＝CD；

若P（t，0）、D（4，t），則Q（t，﹣t），代入拋物線中，得：

，即：t2﹣10t﹣24＝0，

解得：t1＝﹣2，t2＝12；

②PC為平行四邊形的邊，則DQ∥PC，且QD＝PC；

若P（t，0）、D（4，t），則 PC＝QD＝|t﹣4|，Q（t，t）或（8﹣t，t）；

Q（t，t）時，，即：t2+2t﹣24＝0，

解得 t1＝4（舍）、t2＝﹣6；

Q（8﹣t，t）時，，即：t2﹣6t+8＝0，

解得 t1＝4（舍）、t2＝2．

綜上可知，t1＝2，t2＝12，t3＝﹣6，t4＝﹣2．

∴存在點Q，使得以P、D、Q、C為頂點的四邊形為平行四邊形．