Question

【題目】定義：點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部或邊上的點(diǎn)（頂點(diǎn)除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一個三角形與△ABC相似，則稱點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn)．

例如：如圖1，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn)．

請你運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合上述材料，解決下列問題：

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M是曲線y=（x＞0）上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是x軸正半軸上的任意一點(diǎn)．

（1）如圖2，點(diǎn)P是OM上一點(diǎn)，∠ONP=∠M，試說明點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，3），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（，0）時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（3，），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2，0）時，求△MON的自相似點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使△MON無自相似點(diǎn)？若存在，請直接寫出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在, M（，3），N（，0）．

【解析】

試題（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，證出點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn)；過P作PD⊥x軸于D，則tan∠POD= =，求出∠AON=60°，由點(diǎn)M和N的坐標(biāo)得出∠MNO=90°，由相似三角形的性質(zhì)得出∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函數(shù)求出OP=，OD=，PD=，即可得出答案；

（2）作MH⊥x軸于H，由勾股定理求出OM=，直線OM的解析式為y=x，ON=2，∠MOH=30°，分兩種情況：①作PQ⊥x軸于Q，由相似點(diǎn)的性質(zhì)得出PO=PN，OQ=ON=1，求出P的縱坐標(biāo)即可；

②求出MN==2，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出PN=，在求出P的橫坐標(biāo)即可；

（3）證出OM==ON，∠MON=60°，得出△MON是等邊三角形，由點(diǎn)P在△MON的內(nèi)部，得出∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，即可得出結(jié)論．

試題解析：解：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，∴△NOP∽△MON，∴點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn)．

過P作PD⊥x軸于D，則tan∠POD= =，∴∠MON=60°．∵當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，3），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（，0），∴∠MNO=90°．∵△NOP∽△MON，∴∠NPO=∠MNO=90°．在Rt△OPN中，OP=ONcos60°=，∴OD=OPcos60°==，PD=OPsin60°=×=，∴P（，）；

（2）作MH⊥x軸于H，如圖3所示．∵點(diǎn)M的坐標(biāo)是（3，），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2，0），∴OM= =．直線OM的解析式為y=x，ON=2，∠MOH=30°，分兩種情況：

①如圖3所示，∵P是△MON的相似點(diǎn)，∴△PON∽△NOM．

作PQ⊥x軸于Q，∴PO=PN，OQ=ON=1．∵P的橫坐標(biāo)為1，∴y=×1=，∴P（1，）；

②如圖4所示，由勾股定理得：MN==2．∵P是△MON的相似點(diǎn)，∴△PNM∽△NOM，∴，即，解得：PN=，即P的縱坐標(biāo)為，代入y=x，得： =x，解得：x=2，∴P（2，）．

綜上所述：△MON的自相似點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）或（2，）；

（3）存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使△MON無自相似點(diǎn)，M（，3），N（，0）．理由如下：

∵M（，3），N（，0），∴OM==ON，∠MON=60°，∴△MON是等邊三角形．∵點(diǎn)P在△MON的內(nèi)部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使△MON無自相似點(diǎn)．