Question

【題目】如圖所示，∠MON=45°，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A、PB⊥ON于點(diǎn)B，且PB=2 ．取OP的中點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC并延長，交OB于點(diǎn)D．

（1）求證：∠ADB=∠OPB；
（2）設(shè)PA=x，OD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）分別聯(lián)結(jié)AB、BC，當(dāng)△ABD與△CPB相似時(shí)，求PA的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，∵PA⊥OM，CO=CP，

∴CO=CP=CA，

∴∠CAO=∠COA，

過A作AE⊥OB于E，

∵∠MON=45°，

∴∠AOE=∠OAE=45°，

∴∠POB=∠DAE，

∵PB⊥OB，

∴∠ADB=∠OPB

（2）

解：如圖1，

延長BP交OM于F，

∵BP⊥ON，PA⊥OM，

∴∠OBP=∠OAP=90°，

∵∠MON=45°，

∴∠AFB=45°，

在Rt△APF中，AP=x，∠OFB=45°，

∴PF= x，

∴BF=PF+PB= x+2 = （x+2），

在Rt△OBF中，OB=BF= （x+2）

延長AP交ON于G，

同理：PG= PB=4，

∴OA=AG=AP+PG=x+4，

過點(diǎn)A作AE⊥ON，

∴OE=AE= OA= （x+4），

∴DE=OE﹣OD= （x+4）﹣y

由（1）知，∠ADE=∠OPB，

∵∠AED=∠OBP=90°，

∴△ADE∽△OPB，

∴ ，

∴ ，

∴y=

（3）

解：如圖2，

在Rt△OAP中，點(diǎn)C是OP中點(diǎn)，

∴AC=OC= OP，

在Rt△OBP中，點(diǎn)C是OP中點(diǎn)，

∴BC=OC= OP，

∴AC=BC，

∵AC=OC，

∴∠ACP=2∠AOP，

∵OC=BC，

∴∠BCP=2∠BOP，

∴∠ACB=∠ACP+∠BCP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，

∴∠BAC=∠CAB=45°，

∵∠OBP=90°，

∴∠OBC+∠ABP=45°

∵當(dāng)△ABD與△CPB相似時(shí)，

∵∠ADB=∠CPB，

∴∠ABD=∠PBC，

∴∠OBC=∠ABP= ×45°=22.5°，

∵OC=BC，

∴∠BOC=∠OBC=22.5°，

∴∠AOP=∠BOP，

∴OP是∠MON的角平分線，

∵PA⊥OM，PB⊥ON，

∴PA=PB=2

【解析】（1）先判斷出∠DAE=∠POB，再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；（2）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出OB=BF= （x+2），同理得出OA=x+4，即可得出AE，OE，進(jìn)而得出DE，最后用△ADE∽△OPB的比例式建立方程化簡即可得出結(jié)論；（3）先利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和三角形外角的性質(zhì)判斷出△ABC是等腰直角三角形，即可得出∠OBC+∠ABP=45°，再用△ABD與△CPB得出，∠ABD=∠PBC，即∠OBC=∠ABP= ×45°=22.5°，進(jìn)而得出OP是∠MON的平分線即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°，以及對直角三角形斜邊上的中線的理解，了解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．