Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A（2，0），交軸于點(diǎn)B（0，），直線過(guò)點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，作DE⊥y軸于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P是直線AD上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AD于點(diǎn)M，作PN⊥AD于點(diǎn)N．

⑴填空：= ，= ，= ；

⑵探究：是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（－2，3）和（－4，1.5）；（3）當(dāng)x＝－3時(shí)，的最大值是15．

【解析】

（1）將A，B兩點(diǎn)代入可求出b，c的值，將A點(diǎn)代入可求出k的值；

（2）設(shè)出P，M點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出PM的長(zhǎng)，將兩函數(shù)聯(lián)立得出點(diǎn)D坐標(biāo)，可得出CE的長(zhǎng)，利用平行四邊形的性質(zhì)可知PM=CE，列出方程求解即可；

（3）利用勾股定理得出DC的長(zhǎng)，根據(jù)△PMN∽△DCE，得出兩三角形周長(zhǎng)之比等于相似比，從而得出l與x的函數(shù)關(guān)系，再利用配方法求出二次函數(shù)最值即可.

解：⑴

因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（0，），代入拋物線解析式可得：

，解得，所以拋物線解析式為，因?yàn)橹本�

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），代入直線解析式得：，解得：，所以直線解析式為：，所以；

⑵ 存在；

設(shè)P的坐標(biāo)是（x，），則M的坐標(biāo)是（x，，）

∴，

解方程 得：，，

∵點(diǎn)D在第三象限，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（－8，－7.5），

由y＝得點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，－1.5），

∴CE＝－1.5－（－7.5）＝6，

由于PM∥y軸，所以當(dāng)PM＝CE時(shí)四邊形PMEC是平行四邊形。

即＝6,

解這個(gè)方程得：x1＝－2，x2＝－4，符合－8＜x＜2，

當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝3，當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝1.5，

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)是（－2，3）和（－4，1.5）；

⑶ 在Rt△CDE中，DE＝8，CE＝6 由勾股定理得：,

∴△CDE的周長(zhǎng)是24，

∵PM∥y軸，∴△PMN∽△DCE，

∴，即化簡(jiǎn)整理得：l與x的函數(shù)關(guān)系式是：

，

因?yàn)?/span>，∴當(dāng)x＝－3時(shí)，的最大值是15．