Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長滿足，∠ABO的平分線交x軸于點(diǎn)C過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．

（1）求線段AB的長；

（2）求直線CE的解析式；

（3）若M是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以A、B、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）存在，P（－3，10）或P（3，2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可求得OA和OB的長，然后根據(jù)勾股定理求得AB的長；

（2）證明△ACD∽△AOB，得到OC=CD，再根據(jù)△ACD∽△AOB，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求得OC的長，從而求得C的坐標(biāo)，再由CD⊥AB，求得AB的解析式，即可求得CE的解析式；

（3）M是過A且垂直于AB的直線于BC的交點(diǎn)，首先求得M的坐標(biāo)，然后分成四邊形ABPM是矩形和APBM是矩形兩種情況進(jìn)行討論．

試題解析：（1）∵，∴OA=8，OB=6，在直角△AOB中，AB===10；

（2）在△OBC和△DBC中，∵∠OBC=∠DBC，BC=BC，∠BOC=∠BDC，∴△OBC≌△DBC，∴OC=CD，設(shè)OC=x，則AC=8﹣x，CD=x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，∴△ACD∽△AOB，∴，即，解得：x=3．即OC=3，則C的坐標(biāo)是（﹣3，0）．設(shè)AB的解析式是，根據(jù)題意得：，解得：，則直線AB的解析式是，

設(shè)CD的解析式是，則，則，則直線CE的解析式是；

（3）設(shè)直線BC的解析式是，則：，解得：，則直線BC的解析式是；

設(shè)經(jīng)過A且與AB垂直的直線的解析式是，則，解得：，

則過A且與AB垂直的直線的解析式是．

根據(jù)題意得：，解得：，則M的坐標(biāo)是（，）．

①當(dāng)四邊形ABPM是矩形時(shí)，線段AP的中點(diǎn)與線段BM的中點(diǎn)重合，設(shè)P（x，y），∵A（－8，0），B（0，6），M（，），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有：，，解得x=3，y=2，∴P（3，2）；

②當(dāng)APBM是矩形時(shí)，線段AB的中點(diǎn)與線段PM的中點(diǎn)重合設(shè)P（x，y），∵A（－8，0），B（0，6），M（，），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有：，，解得x=－3，y=10，∴P（－3，10）．

綜上所述，存在P（3，2）或P（－3，10）滿足條件．