Question

如圖，y=-x+3交x軸于點A,交y軸于點B,拋物線經(jīng)過A,B,C(1,0)三點.

（1）求拋物線解析式.

（2）若點D的坐標為（-1，0）,在直線y=-x+3上有一點P使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標.

（3）在（2）的條件下，且點P為第一象限內(nèi)的點，過點P作PM⊥y軸于點M，過點A作直線l平行于y軸，動點N從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度沿0-M-P運動，同時直線l從A點出發(fā)以相同的速度沿x軸向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R,交線段BP或OP于點Q，當點M達到P點時運動停止，在運動過程中，設動點N的運動時間為t秒，是否存在以P,Q,N為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在請說明理由.

Answer 1

 (1)由題意得，A（3，0），B（0，3）
∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點分別代入y=ax²+bx+c，
解得y=x²-4x+3. ……………（2分）

(2)由題意可得，△ABO為等腰三角形，

①若△ABO∽△APD,則,

DP=AD=4.

P（-1,4）……………（1分）

②若△ABO∽△ADP,過點P作PE⊥x軸于E，AD=4

△ABO為等腰三角形

△ADP是等腰三角形，

由“等腰三角形三線合一”可得，DE=AE=2=PE，即點E與點C重合，

P(1，2) ……………（1分）

(3)當時，可得PN=PQ，t=1. ……………（2分）

當2<時，①可得QN=QP，t=.……………（2分）

②可得QN=PQ，t=.……………（2分）

③可得QN=NP，t=.