Question

【題目】受“新冠”疫情影響，全國(guó)中小學(xué)延遲開學(xué)，很多學(xué)校都開展起了“線上教學(xué)”，市場(chǎng)上對(duì)手寫板的需求激增．重慶某廠家準(zhǔn)備3月份緊急生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)的手寫板，若生產(chǎn)20個(gè)A型號(hào)和30個(gè)B型號(hào)手寫板，共需要投入36000元；若生產(chǎn)30個(gè)A型號(hào)和20個(gè)B型號(hào)手寫板，共需要投入34000元．

（1）請(qǐng)問生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)手寫板，每個(gè)各需要投入多少元的成本？

（2）經(jīng)測(cè)算，生產(chǎn)的A型號(hào)手寫板每個(gè)可獲利200元，B型號(hào)手寫板每個(gè)可獲利400元，該廠家準(zhǔn)備用10萬元資金全部生產(chǎn)這兩種手寫板，總獲利w元，設(shè)生產(chǎn)了A型號(hào)手寫板a個(gè)，求w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，若要求生產(chǎn)A型號(hào)手寫板的數(shù)量不能少于B型號(hào)手寫板數(shù)量的2倍，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出總獲利最大的生產(chǎn)方案，并求出最大總獲利．

Answer 1

【答案】（1）生產(chǎn)A種型號(hào)的手寫板需要投入成本600元，生產(chǎn)B種型號(hào)的手寫板需要投入成本800元；（2）w＝﹣100a+50000；（3）總獲利最大的生產(chǎn)方案是生產(chǎn)A型號(hào)的手寫板100臺(tái)，B型號(hào)的手寫板50臺(tái)，最大總獲利是40000元．

【解析】

（1）根據(jù)生產(chǎn)20個(gè)A型號(hào)和30個(gè)B型號(hào)手寫板，共需要投入36000元；若生產(chǎn)30個(gè)A型號(hào)和20個(gè)B型號(hào)手寫板，共需要投入34000元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以求得生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)手寫板，每個(gè)各需要投入多少元的成本；

（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果可以得到w與a的函數(shù)關(guān)系式；

（3）要求生產(chǎn)A型號(hào)手寫板的數(shù)量不能少于B型號(hào)手寫板數(shù)量的2倍，可以得到a的取值范圍，再根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式和一次函數(shù)的性質(zhì)可以得到總獲利最大的生產(chǎn)方案，并求出最大總獲利．

解：（1）設(shè)生產(chǎn)A種型號(hào)的手寫板需要投入成本元，生產(chǎn)B種型號(hào)的手寫板需要投入成本元，

，得，

即生產(chǎn)A種型號(hào)的手寫板需要投入成本600元，生產(chǎn)B種型號(hào)的手寫板需要投入成本800元；

（2）∵該廠家準(zhǔn)備用10萬元資金全部生產(chǎn)這兩種手寫板，生產(chǎn)了A型號(hào)手寫板a個(gè)，

∴生產(chǎn)B型號(hào)的手寫板的數(shù)量為：＝（個(gè)），

∴w＝200a+400×＝﹣100a+50000，

即w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式為w＝﹣100a+50000；

（3）∵要求生產(chǎn)A型號(hào)手寫板的數(shù)量不能少于B型號(hào)手寫板數(shù)量的2倍，

∴a≥×2，

∴a≥100，

∵w＝﹣100a+50000，

∴當(dāng)a＝100時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝40000，＝50，

答：總獲利最大的生產(chǎn)方案是生產(chǎn)A型號(hào)的手寫板100臺(tái)，B型號(hào)的手寫板50臺(tái)，最大總獲利是40000元．