Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+AM的值最小時(shí)，求M的坐標(biāo)；

（4）在線段BC下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，求△PBC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，﹣）；

（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；

（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)；

（4）△PBC面積的最大值是4.

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式來求b的值；然后把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）由兩點(diǎn)間的距離公式分別求出AC，BC，AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可判斷出△ABC的形狀；（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸x=對(duì)稱，求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，根據(jù)軸對(duì)稱性，可得MA=MB，兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MB的值最小．則BC與直線x=交點(diǎn)即為M點(diǎn)，利用得到系數(shù)法求出直線BC的解析式，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．（4）過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于F．利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，繼而可得線段PF的長(zhǎng)，然后利用面積和即S△PBC=S△CPF+S△BPF=PF×BO，即可求出．

試題解析：（1）把A（﹣1，0）代入得到：0=×（﹣1）2﹣b﹣2，

解得b=﹣，

則該拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．

又∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，﹣）；

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．則C（0，﹣2）．

又∵y=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣4），

∴A（﹣1，0），B（4，0），

∴AC=，BC=2，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（， ），

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=，

∵拋物線y=x2+bx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸x=對(duì)稱，

∵A(1，0).

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，

當(dāng)x=0時(shí),y=x2x2=2，

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，

則BC與直線x=交點(diǎn)即為M點(diǎn)，如圖，

根據(jù)軸對(duì)稱性，可得MA=MB，兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MB的值最小。

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把C(0，2)，B(4，0)代入，可得，

解得： ，

∴y=x2，

當(dāng)x=時(shí)，y=×2=54，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，).

（4）如答圖2，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于F．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx﹣2（k≠0）．

把B（4，0）代入，得

0=4k﹣2，

解得k=．

故直線BC的解析式為：y=x﹣2．

故設(shè)P（m， m2﹣m﹣2），則F（m， m﹣2），

∴S△PBC=PFOB=×（m﹣2﹣m2+m+2）×4=﹣（m﹣2）2+4，

即S△PBC=﹣（m﹣2）2+4，

∴當(dāng)m=2時(shí)，△PBC面積的最大值是4．