【題目】已知△ABC,(1)如圖1,若D點是△ABC內(nèi)任一點、求證:∠D=∠A+∠ABD+∠ACD.

(2)D點是△ABC外一點,位置如圖2所示.猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎樣的關(guān)系?請直接寫出所滿足的關(guān)系式.(不需要證明)

(3)D點是△ABC外一點,位置如圖3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之間有怎樣的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)證明見解析;(2)∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°;(3)∠D+∠ACD=∠A+∠ABD,證明見解析.

【解析】試題分析:(1)由∠BDC=∠2+∠CED,∠CED=∠A+∠1,可以得出∠D=∠A+∠ABD+∠ACD.
(2)由∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠D+∠DBC+DCB=180°,可以得出∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°.
(3)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)定理即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和,可知∠AED=∠1+∠A,∠AED=∠D+∠2,所以可知∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD.

試題解析:(1)證明:延長BD交AC于點E.
∵∠BDC是△CDE的外角,∴∠BDC=∠2+∠CED,
∵∠CED是△ABE的外角,∴∠CED=∠A+∠1.
∴∠BDC=∠A+∠1+∠2.即∠D=∠A+∠ABD+∠ACD.

(2)∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB,
∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠D+∠DBC+∠DCB=180°,
∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°.

(3)證明:令BD、AC交于點E,
∵∠AED是△ABE的外角,
∴∠AED=∠1+∠A,
∵∠AED是△CDE的外角,
∴∠AED=∠D+∠2.
∴∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD.

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