Question

【題目】已知△ABC，（1）如圖1，若D點(diǎn)是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)、求證：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．

（2）若D點(diǎn)是△ABC外一點(diǎn)，位置如圖2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出所滿足的關(guān)系式．（不需要證明）

（3）若D點(diǎn)是△ABC外一點(diǎn)，位置如圖3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°；（3）∠D+∠ACD=∠A+∠ABD，證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由∠BDC=∠2+∠CED，∠CED=∠A+∠1，可以得出∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）由∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180°，可以得出∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．
（3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)定理即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，可知∠AED=∠1+∠A，∠AED=∠D+∠2，所以可知∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．

試題解析：（1）證明：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E．
∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠2+∠CED，
∵∠CED是△ABE的外角，∴∠CED=∠A+∠1．
∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．即∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．

（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，
∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．

（3）證明：令BD、AC交于點(diǎn)E，
∵∠AED是△ABE的外角，
∴∠AED=∠1+∠A，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠D+∠2．
∴∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．