Question

【題目】如圖，已知∠AOB＝60°，半徑為2的⊙M與邊OA、OB相切，若將⊙M水平向左平移，當(dāng)⊙M與邊OA相交時，設(shè)交點為E和F，且EF＝6，則平移的距離為____．

Answer 1

【答案】2或6

【解析】

分類討論：當(dāng)將⊙M水平向左平移，當(dāng)點M運動到M′位置時，作MC⊥OA于C點，M′H⊥OA于H，M′Q⊥MC于Q，連結(jié)M′E，根據(jù)切線的性質(zhì)得MM′∥OB，MC＝2，再根據(jù)垂徑定理得EH＝EF＝3，在Rt△EHM′中利用勾股定理計算出HM′＝，則CQ＝M′H＝，所以MQ＝2﹣＝，然后利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可得到MM′；

當(dāng)將⊙M水平向左平移，當(dāng)點M運動到M″位置時，作MC⊥OA于C點，M″H⊥OA于H，M″M交OA于D點，同理得到MC＝2，M′H＝，利用平行線的性質(zhì)得∠MDC＝∠M″DH＝∠AOB＝60°，則∠HM″D＝30°，∠CMD＝30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可得到M″D和MD，則可得到MM″＝6．

解：當(dāng)將⊙M水平向左平移，當(dāng)點M運動到M′位置時，

如圖，作MC⊥OA于C點，M′H⊥OA于H，M′Q⊥MC于Q，連結(jié)M′E，

∵⊙M與邊OB、OA相切，

∴MM′∥OB，MC＝2，

∵M′H⊥OA，

∴EH＝CH＝EF＝×6＝3，

在Rt△EHM′中，EM′＝2，

∴HM′＝，

∵M′Q⊥MC，

∴四邊形M′QCH為矩形，

∴CQ＝M′H＝，

∴MQ＝2﹣＝，

∵∠QM′M＝∠AOB＝60°，

∴∠QM′M＝30°，

∴M′Q＝＝1，

∴MM′＝2；

當(dāng)將⊙M水平向左平移，當(dāng)點M運動到M″位置時，如圖2，

作MC⊥OA于C點，M″H⊥OA于H，M″M交OA于D點，

易得MC＝2，M′H＝，

∵∠MDC＝∠M″DH＝∠AOB＝60°，

∴∠HM″D＝30°，∠CMD＝30°，

在Rt△HM″D中，M″D＝，則DH＝＝1，

∴M″D＝2DH＝2，

在Rt△CDM中，CM＝2，則DC＝＝2，

∴DM＝2DC＝4，

∴MM″＝2+4＝6，

綜上所述，當(dāng)⊙M平移的距離為2或6．

故答案為：2或6．