Question

【題目】如圖，已知拋物線過點(diǎn)A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)M是拋物線AC段上的一個動點(diǎn)，當(dāng)圖中陰影部分的面積最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4（2）當(dāng)x＝2時(shí)，△ACM的面積最大，圖中陰影部分的面積最小值，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣4）

【解析】

根據(jù)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x+2）（x﹣4），然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求；

連接AC,設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x， x2﹣x﹣4），利用x表示出S△ACM，然后轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式即可求解.

（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣4），

把C（0，﹣4）代入得a2（﹣4）＝﹣4，

解得a＝，

∴拋物線解析式為y＝（x+2）（x﹣4），

即y＝x2﹣x﹣4；

（2）連接AC，則AC與拋物線所圍成的圖形的面積為定值，

當(dāng)△ACM的面積最大時(shí)，圖中陰影部分的面積最小值，

作MN∥y軸交AC于N，如圖甲，

設(shè)M（x， x2﹣x﹣4），

由A（4，0），C（0，﹣4）知線段AC所在直線解析式為y＝x﹣4，

則N（x，x﹣4），

∴MN＝x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）＝﹣x2+2x，

∴S△ACM＝S△MNC+S△MNA＝4MN＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

當(dāng)x＝2時(shí)，△ACM的面積最大，圖中陰影部分的面積最小值，

此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣4）．