Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD是∠BAC的平分線．

（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E；
（2）求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法1，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線即可；

方法2：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)，以點(diǎn)D為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，⊙D和AC相切于點(diǎn)E，連接DE即可．

（2）

解：方法一：設(shè)DE=x，則AC= =5．

∵AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC，

∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．

∵S△ACD= = ，

∴ = ，解得x= ，

∴DE=x= ．

方法二：設(shè)DE=x，則AC= =5．

∵AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC，

∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．

∵∠DEC=∠ABC=90°，∠C=∠C，

∴△DEC∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，解得x= ，

∴DE=x= ．

方法三：設(shè)DE=x，則AC= =5．

∵AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC，

∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x．

∵在Rt△ABC中，sin∠C= = ，

在Rt△DEC中，sin∠C= = ，

∴ = ，解得x= ，

∴DE=x= ．

【解析】（1）根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作直線垂線的作法即可畫(huà)出圖形；（2）設(shè)DE=x，則AC= =5，跟進(jìn)吧AD是∠BAC的平分線，∠ABC=90°，DE⊥AC可得出BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x，再由S△ACD= = 求出x的值即可．
【考點(diǎn)精析】利用角平分線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上．