Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，．點(diǎn)和點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿軸正方向運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向運(yùn)動，以，為鄰邊構(gòu)造，已知點(diǎn)，的運(yùn)動速度均為，點(diǎn)的運(yùn)動速度為，運(yùn)動時(shí)間為．過點(diǎn)的拋物線交軸于另一點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），，且該二次函數(shù)的最大值不變，均為．

（1）①當(dāng)時(shí)，求的長；（用含的代數(shù)式表示）；②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，試判斷點(diǎn)是否恰好落在拋物線上，并說明理由；

（3）若點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在拋物線上，請求出所有滿足條件的的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）不在拋物線上，見解析；（3）1

【解析】

（1）①分別表示出點(diǎn)P與點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可得到PE的表達(dá)式；②當(dāng)時(shí)，可得E，P,D的坐標(biāo)，結(jié)合，為鄰邊構(gòu)造的性質(zhì)，即可求解；

（2）線求出點(diǎn)P，H的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，利用待定系數(shù)法，求出二次函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式驗(yàn)證，即可得到結(jié)論；

（3）先求出二次函數(shù)的解析式（含參數(shù)t），再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分別求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出t的值．

（1）①∵點(diǎn)，的運(yùn)動速度均為，點(diǎn)的運(yùn)動速度為，運(yùn)動時(shí)間為．

∴P(-8+2t，0)，E(-5+t，0)，

∵，

∴-8+2t＜-5+t，

∴；

②∵當(dāng)時(shí)，E(1，0)，P(4，0)，D(0，4)，

∴EP=3，OD=4，

∵以，為鄰邊構(gòu)造，如圖所示，

∴DF∥EP，DF=EP=3，

∴；

（2）∵當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，

把，代入，得，

∴，

當(dāng)時(shí)，，，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)不在拋物線上；

（3）∵P(-8+2t，0)，H(-2+2t，0)，

∴拋物線的對稱軸為：直線x=-5+2t，

∵該二次函數(shù)的最大值為，

設(shè)，

把P(-8+2t，0)代入，解得：a=，

∴過點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為：，

① 當(dāng)時(shí)，

連接PQ交FE的延長線于點(diǎn)M，連接QE，則∠PME=90°，

∵EF∥PD，

∴∠MPC=90°

∵P(-8+2t，0)，D(0，-8+2t)，

∴OP=OD，

∴∠OPD=45°，

∴∠MPE=45°，

由對稱性，可知：∠MPE=∠MQE=45°，PE=QE=3-t，

∴∠PEQ=180°-45°-45°=90°，

∴Q(-5+t，3-t)，

∵恰好落在拋物線上，

∴，解得：t1=1，t2=3（舍去），

②當(dāng)時(shí)，

∵P(-8+2t，0)，E(-5+t，0)，

∴PE=t-3，

同理可得：∠PEQ=90°，∠MPE=∠MQE=45°，PE=QE=t-3，

∵Q在第三象限或第四象限，

∴Q(-5+t，3-t)，

∵恰好落在拋物線上，

∴，解得：t1=1（舍去），t2=3（舍去），

綜上所述：點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在拋物線上時(shí)，t的值為1．