Question

【題目】（1）如圖 1，在邊長為 1 個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC 的三個頂點均在格點上．現(xiàn)將ABC 繞點 A 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°，點 B 的對應(yīng)點為B′，點 C 的對應(yīng)點為C′， 連接 BB′，如圖所示則∠AB′B＝ ．

（2）如圖 2，在等邊ABC 內(nèi)有一點 P，且 PA＝2，PB＝ ，PC＝1，如果將△BPC 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn) 60°得出△ABP′，求∠BPC 的度數(shù)和 PP′的長；

（3）如圖3，在中，，，，點O為內(nèi)一點，連接AO，BO，CO，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）∠BPC＝150°，PP′＝；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到△ABB’是等腰直角三角形，即可得到答案；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，BP=BP’，∠PBP’=60°，則是等邊三角形，則，，由利用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，則，即可得到∠BPC；

（3）將△繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至△處，連接，利用直角三角形的性質(zhì)求出AB，BC，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到是等邊三角形，然后得到四點共線，然后利用勾股定理求出的長度，即可得到.

解：如圖1所示，連接BB'，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，

∴AB=AB'，∠B'AB=90°，

∴∠AB'B=45°．

故答案為：45°；

（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得出△ABP'，如圖2，

∴AP'=CP=1，BP'=BP=，∠PBC=∠P'BA，∠AP'B=∠BPC．

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴∠ABP'+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPP'是等邊三角形，

∴PP'=，∠BP'P=60°．

∵AP'=1，AP=2，

∴，

∴，

∴∠AP'P=90°，則△PP'A是直角三角形，

∴；

（3）如圖3，將△繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至△處，連接，

在中，，，，

，

，

繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，

如圖所示；

，

繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，

，，，

是等邊三角形，

，，

，

，

、O、、四點共線，

在中，，

．