Question

【題目】如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合．

（1）若DE經(jīng)過點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G，求證：∠AGD=90°

（2）求圖1中重疊部分（△DCG）的面積；

（3）合作交流：“希望”小組受問題（1）（2）的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖2，求重疊部分（△DGH）的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6；（3） .

【解析】試題分析：（1）由D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)易得AD=BD=CD，所以∠DCB=∠DBC；再由△ABC≌△FDE得∠FDE=∠B，從而∠FDE=∠DCB，所以DG∥BC，進(jìn)而可證∠DGC=90°；

（2）由（1）得DG⊥AC，G是AC的中點(diǎn)．即可求出S△DCG＝×CGDG＝×4×3＝6；

（2）如圖2所示：先證明AG=GH，再求出AD＝AB＝5，然后證明△ADH∽△ACB，得出比例式，求出DH＝，即可求出S△DGH＝S△ADH＝××DHAD＝××5＝

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，

∴DC=DB=DA．

∴∠B=∠DCB．

又∵△ABC≌△FDE，

∴∠FDE=∠B．

∴∠FDE=∠DCB．

∴DG∥BC．

∴∠AGD=∠ACB=90°．

∴DG⊥AC．

∴∠DGC=90°；

(2)由（1）知：DG⊥AC

∵DC=DA，

∴G是AC的中點(diǎn)．

∴CG＝AC＝×8＝4，DG＝BC＝×6＝3．

∴S△DCG＝×CGDG＝×4×3＝6．

（3）如圖2所示：

∵△ABC≌△FDE，

∴∠B=∠1．

∵∠C=90°，ED⊥AB，

∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，

∴∠B=∠2，

∴∠1=∠2，

∴GH=GD，

∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠A=∠3，

∴AG=GD，

∴AG=GH，

∴點(diǎn)G為AH的中點(diǎn)；

在Rt△ABC中，AB＝＝10，

∵D是AB中點(diǎn)，

∴AD＝AB＝5，

在△ADH與△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，

∴△ADH∽△ACB，

∴，

∴，

∴DH＝．

∴S△DGH＝S△ADH＝××DHAD＝××5＝.