Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，以EF為直徑的半圓M如圖所示位置擺放，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E隨之沿AB下滑，并帶動(dòng)半圓M在平面滑動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（t≥0），當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

發(fā)現(xiàn)：M到AD的最小距離為　 　，M到AD的最大距離為　 　．

思考：①在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)半圓M與矩形ABCD的邊相切時(shí)，求t的值；

②求從t=0到t=4這一時(shí)間段M運(yùn)動(dòng)路線長；

探究：當(dāng)M落在矩形ABCD的對角線BD上時(shí)，求S△EBF．

Answer 1

【答案】4、8；①當(dāng)t=0或t=4或t=8時(shí)，半圓M與矩形ABCD的邊相切；②π；

【解析】

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)M與AD的距離最小，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)M到AD的距離最大，據(jù)此可得；
思考：①根據(jù)題意知t=0時(shí)半圓M與AD、BC相切，當(dāng)t=8時(shí)半圓M與AB相切，當(dāng)半圓M與CD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為N，延長NM交AB于點(diǎn)Q，由M是EF的中點(diǎn)且QM∥BF知，據(jù)此可得t=BF=2QM=4；
②t=0到t=4這一段時(shí)間點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長為，由Rt△EBF中BM=MF=BF=4知△BMF是等邊三角形，據(jù)此可得∠MBF=60°、∠MBM′=30°，利用弧長公式計(jì)算可得；
探究：當(dāng)點(diǎn)M落在BD上時(shí)，由四邊形BCDA是矩形知∠OAB=∠OBA，由BM是Rt△EBF斜邊EF的中線知BM=EM、∠MBE=∠BEM，得出∠OAB=∠BEM及EF∥AC，從而知，據(jù)此解答可得．

解：發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)E、點(diǎn)B與點(diǎn)F重合時(shí)，點(diǎn)M與AD的距離最小，最小距離為4；

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)M到AD的距離最大，最大距離為8；

故答案為：4、8；

思考：①由于四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，

∴當(dāng)t=0時(shí)，半圓M既與AD相切、又與BC相切；

如圖1，當(dāng)半圓M與CD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為N，

∴∠MNC=90°，

延長NM交AB于點(diǎn)Q，

∵∠B=∠C=90°，

∴四邊形BCNQ是矩形，

∴QN=BC=6，QM=QN﹣MN=2，

∵M是EF的中點(diǎn)，且QM∥BF，

∴ ，

∴t=BF=2QM=4；

當(dāng)t=8時(shí)，∵∠ABM=90°，

∴半圓M與AB相切；

綜上，當(dāng)t=0或t=4或t=8時(shí)，半圓M與矩形ABCD的邊相切；

②如圖2，t=0到t=4這一段時(shí)間點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長為 ，

t=4時(shí)，BF=4，

由于在Rt△EBF中，EM=MF=4，

∴BM=MF=4，

∴BM=MF=BF=4，

∴△BMF是等邊三角形，

∴∠MBF=60°，

∴∠MBM′=30°，

則=；

探究：如圖3，

∵AB=8、AD=6，

∴BD=10，

當(dāng)點(diǎn)M落在BD上時(shí)，

∵四邊形BCDA是矩形，

∴OB=OA，

∴∠OAB=∠OBA，

∵BM是Rt△EBF斜邊EF的中線，

∴BM=EM，

∴∠MBE=∠BEM，

∴∠OAB=∠BEM，

∴EF∥AC，

∴ ，

∵S△ABC=24，

∴S△EBF=．