Question

【題目】如圖，矩形OABC放在以O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，A(3，0)，C(0，2)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且CF＝1，若M為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，N為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值是_____．

Answer 1

【答案】5+

【解析】

作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，連接FN、NM、ME，此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最�。�根據(jù)勾股定理和軸對(duì)稱性質(zhì)可求解.

解：由圖可得；E(3，1)；F(1，2)

如圖，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，連接FN、NM、ME，此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最�。�

∴E′(3，﹣1)，F′(﹣1，2)，

設(shè)直線E′F′的解析式為y＝kx+b，

有解這個(gè)方程組，

得

∴直線E′F′的解析式為．

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)．

∵E與E′關(guān)于x軸對(duì)稱，F與F′關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴NF＝NF′，ME＝ME′．F′B＝4，E′B＝3．

在Rt△BE′F′中，F′E′＝

∴FN+NM+ME＝F′N(xiāo)+NM+ME′＝F′E′＝5．

在Rt△BEF中，EF＝．

∴FN+NM+ME+EF＝5+，

即四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值是5+．

故答案為：5+