Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）；矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）．

①當(dāng)t=時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說明理由；

②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①不在；②最大值為．

【解析】

試題分析：（1）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，又拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，用待定系數(shù)可求出拋物線解析式；

（2）①根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出E點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線ME的解析式，把t知代入驗(yàn)證點(diǎn)P是否在直線ME上；

②最后一問設(shè)出P，N坐標(biāo)，根據(jù)幾何關(guān)系求出PN，然后分兩種情況討論：（1）PN=0；（2）PN≠0；把求多邊形面積S轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．

試題解析：（1）因所求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4），故可設(shè)其關(guān)系式為，又∵拋物線經(jīng)過O（0，0），∴得，解得a=﹣1，∴所求函數(shù)關(guān)系式為，即．

（2）①點(diǎn)P不在直線ME上．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知E點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），又M的坐標(biāo)為（2，4），設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b．于是得：，解得：，所以直線ME的關(guān)系式為y=﹣2x+8．

由已知條件易得，當(dāng)t=時(shí)，OA=AP=，∴P（，）．

∵P點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=﹣2x+8，∴當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)P不在直線ME上．

②S存在最大值．理由如下：

∵點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上，且N在拋物線上，∴OA=AP=t，∴點(diǎn)P，N的坐標(biāo)分別為（t，t）、（t，），∴AN=（0≤t≤3），∴AN﹣AP=（）﹣t==t（3﹣t）≥0，∴PN=．（ⅰ）當(dāng)PN=0，即t=0或t=3時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，∴S=DCAD=×3×2=3．

（ⅱ）當(dāng)PN≠0時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形．

∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=（CD+PN）AD= ==，其中（0＜t＜3），由a=﹣1，0＜＜3，此時(shí)S最大=．

綜上所述，當(dāng)t=時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形面積有最大值，這個(gè)最大值為．

說明：（ⅱ）中的關(guān)系式，當(dāng)t=0和t=3時(shí)也適合．