Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=2，且拋物線經(jīng)過A（-1，0），C（0，-5）兩點，與x軸交于點B．
（1）若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P為拋物線上的一個動點，連接PB、PC，若△BPC是以BC為直角邊的直角三角形，求此時點P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上BC段有另一個動點Q，以點Q為圓心作⊙Q，使得⊙Q與直線BC相切，在運動的過程中是否存在一個最大⊙Q？若存在，請直接寫出最大⊙Q的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸及A點坐標(biāo)得出B點坐標(biāo)，從而得出直線BC解析式，再由A、B、C三點坐標(biāo)得出拋物線解析式；
（2）分別過B、C兩點作BC的垂線，得出垂線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立解出P點；
（3）平移BC到與拋物線剛好相切之處，此時的切點即為Q點，此時Q點距BC的距離最大，也就是半徑最大．由于初中階估沒學(xué)點到直線的距離公式，那么這里可以用等面積法進(jìn)行處理．設(shè)切線與y軸的交點為H，則△HBC與△QBC的面積相等，算出面積，再以BC為底，算出BC邊上的高即為答案．

解答 解：（1）∵對稱軸為x=2，且拋物線經(jīng)過A（-1，0），
∴B（5，0）．
把B（5，0），C（0，-5）分別代入y=mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=0}\\{n=-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-5}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-5．
設(shè)y=a（x-5）（x+1），把點C的坐標(biāo)代入得：-5a=-5，解得：a=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x-5．
（2）①過點C作CP₁⊥BC，交拋物線于點P₁，如圖，

則直線CP1的解析式為y=-x-5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-5}\\{y={x}^{2}-4x-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-5}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-8}\end{array}\right.$，
∴P₁（3，-8）；
②過點B作BP₂⊥BC，交拋物線于P₂，如圖，

則BP₂的解析式為y=-x+5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y={x}^{2}-4x-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=7}\end{array}\right.$，
∴P₂（-2，7）；
（3）由題意可知，Q點距離BC最遠(yuǎn)時，半徑最大．平移直線BC，使其與拋物線只有一個公共點Q（即相切），設(shè)平移后的直線解析式為y=x+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{y={x}^{2}-4x-5}\end{array}\right.$，消去y整理得x²-5x-5-t=0，
△=25+4（5+t）=0，解得t=-$\frac{45}{4}$，
∴平移后與拋物線相切時的直線解析式為y=x-$\frac{45}{4}$，且Q（$\frac{5}{2}$，-$\frac{35}{4}$），
連接QC、QB，作QE⊥BC于E，如圖，

設(shè)直線y=x-$\frac{45}{4}$與y軸的交點為H，連接HB，
則${S}_{△HBC}=\frac{1}{2}BO•CH$，
∵CH=-5-（-$\frac{45}{4}$）=$\frac{25}{4}$，
∴${S}_{△HBC}=\frac{1}{2}×5×\frac{25}{4}$=$\frac{125}{8}$，
∴${S}_{△QBC}={S}_{△HBC}=\frac{125}{8}$，
∵${S}_{△QBC}=\frac{1}{2}BC•QE$，BC=$5\sqrt{2}$，
∴QE=$\frac{25\sqrt{2}}{8}$，
即最大半徑為$\frac{25\sqrt{2}}{8}$．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的對稱性，待定系數(shù)法求直線和拋物線解析式，相互垂直的兩直線的性質(zhì)，解一元二次方程，等面積法求距離等重要知識點和方法，綜合性強(qiáng)，難度較大．對于最后一問，清楚什么時候半徑最大以及會用等面積法求距離是解答的關(guān)鍵．