Question

【題目】已知，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，動點M、N分別在線段OC、CD上，AM的延長線與射線ON相交于點E，與弦CD相交于點F．
（1）如圖1，若DN=OM，求證：AM=ON；

（2）如圖2，點P是弦CD上一點，若AP=OP，∠APO=90°，求∠COP的度數(shù)；

（3）在（1）的條件下，若AB=20，cos∠AOC= ，當點E在ON的延長線上，且NE=NF時，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

連接OD，

∴OA=OD，

∵CD∥AB，

∴∠BOD=∠NDO， ，

∴∠AOC=∠BCD，

∴∠AOC=∠CDO，

在△AMO和△OND中， ，

∴△AMO≌△OND，

∴AM=ON，

（2）解：如圖2，

過點C作CG⊥AB，PH⊥AB，

∴CG=PH，

∵AP=OP，∠APO=90°，

∴∠AOP=45°，PH= OA，

∴CG= OA= OC，

∴∠AOC=30°，

∴∠COP=∠AOP﹣∠AOC=15°

（3）解：如圖3，

作OG⊥CD于G，連接OD，

∵AB=20，

∴OC=10

CG=OCcos∠C=OCcos∠AOC=10× =8

∴CD=2CG=16

∵NE=NF，

∴∠E=∠EFN

∵CD∥AB，

∴∠EFN=∠A

∴∠E=∠A，

∴OE=OA

∵CD∥AB，

∴∠BOD=∠D=∠C=∠AOC

∴∠AOE=∠COD

∴△AOE≌△COD，

∴AE=CD=16

∵△AOM≌△ODN，

∴∠NOD=∠A=∠E

∴AE∥OD，

∴四邊形AODF是平行四邊形

∴AF=OD=10

∴EF=AE﹣AF=16﹣10=6

【解析】（1）先判斷出∠BOD=∠NDO， 進而得出∠AOC=∠CDO，即可得出△AMO≌△OND，結論得證；（2）構造出直角三角形，先判斷出PH= OA，即可得出CG= OC，進而求出∠AOC=30°，最后用角的差，即可得出結論．（3）先求出CD=2CG=16，再判斷出△AOE≌△COD，進而判斷出四邊形AODF是平行四邊形，最后用線段的差即可得出結論；