Question

【題目】定義：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，AC=nAB時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的點(diǎn)值，記作dC﹣AB=n．如點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即AC=AB，則dC﹣AB=；反過(guò)來(lái)，當(dāng)dC﹣AB=時(shí)，則有AC=AB．

（1）如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若dC﹣AB=，則=　 　；若AC=3BC，則dC﹣AB=　 　；

（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB=10cm，BC=6cm，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段CA以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿線段BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、Q均停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ交CD于點(diǎn)E，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，dP﹣CA+dQ﹣CB=m．

①當(dāng)≤m≤時(shí)，求t的取值范圍；

②當(dāng)dP﹣CA=，求dE﹣CD的值；

③當(dāng)dE﹣CD=時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①3≤t≤4；②0.6；③t的值為2.4或

【解析】分析：（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，AC=nAB時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的點(diǎn)值，記作dC-AB=n，據(jù)此進(jìn)行判斷即可；
（2）①根據(jù)dP-CA=，dQ-CB=，即可得到m=dP-CA+dQ-CB=，再根據(jù)，即可得到不等式，進(jìn)而解得3≤t≤4；
②根據(jù)dP-CA=，dP-CA+dQ-CB=m，可得dP-CA=dQ-CB，即，進(jìn)而得出，求得t=2.4，再根據(jù)，∠ACB=∠PCQ，判定△ACB∽△PCQ，進(jìn)而得到PQ∥AB，得出，即可得到dE-CD=dP-CA==0.6；
③分兩種情況：當(dāng)PQ∥AB時(shí)，則有dE-CD=dP-CA=dQ-CB=，由②可得，t=2.4；當(dāng)PQ與AB不平行時(shí)，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作PM⊥CD于點(diǎn)M，QN⊥CD于點(diǎn)N，根據(jù)dE-CD=，dP-CA+dQ-CB=m，推理可得△PME≌△QNE，即可得出PM=QN，最后根據(jù)PM=PC×sin∠ACD=2t×sin∠B=，QN=QC×sin∠BCD=（6-t）sin∠A=（6-t），得到關(guān)于t的方程，即可得出t=．

詳解：（1）∵點(diǎn)C在線段AB上，若dC﹣AB=，

∴AC=AB，即=；

∵AC=3BC，

∴AC=AB，即dC﹣AB=，

故答案為：，；

（2）①在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=8，

∵dP﹣CA==，dQ﹣CB==1﹣，

∴m=dP﹣CA+dQ﹣CB=+1﹣，

又∵≤m≤，

∴≤+1﹣≤，

解得3≤t≤4；

②∵dP﹣CA=，dP﹣CA+dQ﹣CB=m，

∴dP﹣CA=dQ﹣CB，

∴=，

∴=，

解得t=2.4，

∵=，∠ACB=∠PCQ，

∴△ACB∽△PCQ，

∴∠A=∠CPQ，

∴PQ∥AB，

∴=，

∴dE﹣CD=dP﹣CA==0.6；

③分兩種情況：

當(dāng)PQ∥AB時(shí)，則有dE﹣CD=dP﹣CA=dQ﹣CB=，

由②可得，t=2.4；

當(dāng)PQ與AB不平行時(shí)，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作PM⊥CD于點(diǎn)M，QN⊥CD于點(diǎn)N，如圖所示，

則有PM∥QN∥AB，且點(diǎn)M，N，E不重合，

∴=， =，

∵dE﹣CD=，dP﹣CA+dQ﹣CB=m，

∴dP﹣CA+dQ﹣CB=2dE﹣CD，

∴+=2，即+=2，

∴CM+CN=2CE，即點(diǎn)E是MN的中點(diǎn)，

∴EN=EM，

又∵∠PME=∠QNE，∠PEM=∠QEN，

∴△PME≌△QNE，

∴PM=QN，

∵PM=PC×sin∠ACD=2t×sin∠B=，QN=QC×sin∠BCD=（6﹣t）sin∠A=（6﹣t），

∴=（6﹣t），

解得t=，

綜上所述，t的值為2.4或．