Question

如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處．分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過O，D，C三點．
（1）求AD的長及拋物線的解析式；
（2）一動點P從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？
（3）點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊圖形的軸對稱性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的長，進而可得到AE的長；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的長．進一步能確定D點坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）由于∠DEC=90°，首先能確定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在這兩種情況下，分別利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出對應(yīng)的t的值．
（3）由于以M，N，C，E為頂點的四邊形，邊和對角線都沒明確指出，所以要分情況進行討論：
①EC做平行四邊形的對角線，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中點正好在拋物線對稱軸上，所以M點一定是拋物線的頂點；
②EC做平行四邊形的邊，那么EC、MN平行且相等，首先設(shè)出點N的坐標，然后結(jié)合E、C的橫、縱坐標差表示出M點坐標，再將點M代入拋物線的解析式中，即可確定M、N的坐標．
解答：解：（1）∵四邊形ABCO為矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由題意，△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴AE=10-6=4，
設(shè)AD=x，則BD=ED=8-x，由勾股定理，得x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3，∴AD=3．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點D（3，10），C（8，0），O（0，0）
∴，
解得
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x．

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
而CQ=t，EP=2t，∴PC=10-2t．
當∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴=，即=，
解得t=．
當∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴=，即=，
解得t=．
∴當t=或時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似．

（3）假設(shè)存在符合條件的M、N點，分兩種情況討論：
①
EC為平行四邊形的對角線，由于拋物線的對稱軸經(jīng)過EC中點，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點必為拋物線頂點；
則：M（4，）；而平行四邊形的對角線互相平分，那么線段MN必被EC中點（4，3）平分，則N（4，-）；
②EC為平行四邊形的邊，則ECMN，設(shè)N（4，m），則M（4-8，m+6）或M（4+8，m-6）；
將M（-4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=-38，此時 N（4，-38）、M（-4，-32）；
將M（12，m-6）代入拋物線的解析式中，得：m=-26，此時 N（4，-26）、M（12，-32）；
綜上，存在符合條件的M、N點，且它們的坐標為：
①M₁（-4，-32），N₁（4，-38）；②M₂（12，-32），N₂（4，-26）；③M₃（4，），N₃（4，-）．
點評：考查了二次函數(shù)綜合題，題目涉及了圖形的折疊變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等重點知識．后兩問的情況較多，需要進行分類討論，以免漏解．