【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10,BC=5,點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠APD=∠ABC,AD∥BC,連接CD.
(1)求證AD=2AP;
(2)如圖①,若BA與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,AP=1,求AM的長(zhǎng);
(3)如圖②,若AB與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,當(dāng)△CDP與△BCN相似時(shí),求證點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)AM=;(3)點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).
【解析】
(1)證明△DAP∽△ACB,得,即可得解;
(2)證明△MAD∽△MBC,得,即可得解;
(3)證明△NBC∽△NAD,得,故;由△CPD∽△CBN,得,,求解即可.
(1)證明:∵AD∥BC
∴∠DAP=∠ACB
又∵∠APD=∠ABC
∴△DAP∽△ACB
∴
∴
∴AD=2AP
(2)∵AP=1,∴AD=2AP=2
∵AD∥BC
∴△MAD∽△MBC
∴
∴
∴AM=
(3)∵∠APD=∠ABC
∴∠CPD=∠CBN
又∵∠ACP>∠N
∴當(dāng)△CDP與△BCN相似時(shí),只能是△CPD∽△CBN
設(shè)AP=x,BN=y,則AD=PD=2x,CP=10-x
∵△CPD∽△CBN,∴,∴
∵AD∥BC,∴△NBC∽△NAD,∴,∴
解出x=5,∴點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),連接,把沿折疊,使點(diǎn)落在點(diǎn)處,當(dāng)為直角三角形時(shí),的長(zhǎng)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,D是弦AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CD=AC,DB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:CD=CE;
(2)連結(jié)AE,若∠D=25°,求∠BAE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,BD是∠ABC的角平分線,過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別為E、F.
(1)求證:△AED≌△CFD;
(2)若AB=10,BC=8,∠ABC=60°,求BD的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形,Rt△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,在建立平面直角坐標(biāo)系后,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,3).
(1)將原來(lái)的Rt△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△A1B1C1,試在圖上畫(huà)出Rt△A1B1C1的圖形.
(2)求線段BC掃過(guò)的面積.
(3)求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A1路徑長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-4,1)、B(-1,1)、C(-4,3).
(1)畫(huà)出Rt△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形Rt△A1B1C1;
(2)若Rt△ABC與Rt△A2BC2關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱,則點(diǎn)A2的坐標(biāo)為 、C2的坐標(biāo)為 .
(3)求點(diǎn)A繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°到點(diǎn)A2時(shí),點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),∠EDF=120°,DE與線段AB相交于點(diǎn)E,DF與線段AC(或AC的延長(zhǎng)線)相交于點(diǎn)F.
(1)如圖,若DF⊥AC,垂足為F,證明:DE=DF
(2)如圖,將(1)中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F.DE=DF仍然成立嗎?說(shuō)明理由。
(3)將∠EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,使DF與線段AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,DE=DF仍然成立嗎? 直接說(shuō)出結(jié)論,不必說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),對(duì)稱軸為直線x=﹣2.
(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn),點(diǎn)C是拋物線上的另一點(diǎn).已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9.求此拋物線的解析式,并指出頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P是(2)中拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),且以1個(gè)單位/秒的速度從此拋物線的頂點(diǎn)E向上運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為 秒時(shí),△PAD的周長(zhǎng)最?當(dāng)t為 秒時(shí),△PAD是以AD為腰的等腰三角形?(結(jié)果保留根號(hào))
②點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在一點(diǎn)P,使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊DC上,DE=2,EC=1(如圖所示)把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處,則F、C兩點(diǎn)的距離為______.
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