Question

【題目】閱讀材料并解答下列問(wèn)題：如圖1，把平面內(nèi)一條數(shù)軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到另一條數(shù)軸軸和軸構(gòu)成一個(gè)平面斜坐標(biāo)系

規(guī)定：過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)在軸對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為，點(diǎn)在軸對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)為點(diǎn)在平面斜坐標(biāo)系中的斜坐標(biāo)．如圖2，在平面斜坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)的斜坐標(biāo)是，點(diǎn)的斜坐標(biāo)是

（1）連接，求線段的長(zhǎng)；

（2）將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)），求點(diǎn)的斜坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，在斜坐標(biāo)系確定的平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，當(dāng)⊙與軸相切時(shí)，求點(diǎn)的斜坐標(biāo)，

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的斜坐標(biāo)為（9，）；（3）點(diǎn)D的斜坐標(biāo)為：（，3）或（6，12）．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OA，垂足為C，由平行線的性質(zhì)，得∠PAC=，由AP=6，則AC=3，，再利用勾股定理，即可求出OP的長(zhǎng)度；

（2）根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥OC，QF∥OB，連接BQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到OP=OQ，∠COP=∠BOQ，則△COP≌△BOQ，則BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ是等邊三角形，則BE=EQ=BQ=3，則OE=9，OF=3，即可得到點(diǎn)Q的斜坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行①當(dāng)OP和CM恰好是平行四邊形OMPC的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D是對(duì)角線的交點(diǎn)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；②取OJ=JN=CJ，構(gòu)造直角三角形OCN，作∠CJN的角平分線，與直線OP相交與點(diǎn)D，然后由所學(xué)的性質(zhì)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OA，垂足為C，連接OP，

∵AP∥OB，

∴∠PAC=，

∵PC⊥OA，

∴∠PCA=90°，

∵點(diǎn)的斜坐標(biāo)是，

∴OA=3，AP=6，

∴，

∴，

∴，，

在Rt△OCP中，由勾股定理，得

；

（2）根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥OC，QF∥OB，連接BQ，如圖：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得OP=OQ，∠POQ=60°，

∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，

∴∠COP=∠BOQ，

∵OB=OC=6，

∴△COP≌△BOQ（SAS）；

∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，

∴∠EBQ=60°，

∵EQ∥OC，

∴∠BEQ=60°，

∴△BEQ是等邊三角形，

∴BE=EQ=BQ=3，

∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，

∵點(diǎn)Q在第四象限，

∴點(diǎn)的斜坐標(biāo)為（9，）；

（3）①取OM=PC=3，則四邊形OMPC是平行四邊形，連接OP、CM，交點(diǎn)為D，如圖：

由平行四邊形的性質(zhì)，得CD=DM，OD=PD，

∴點(diǎn)D為OP的中點(diǎn)，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，6），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，3）；

②取OJ=JN=CJ，則△OCN是直角三角形，

∵∠COJ=60°，

∴△OCJ是等邊三角形，

∴∠CJN=120°，

作∠CJN的角平分線，與直線OP相交于點(diǎn)D，作DN⊥x軸，連接CD，如圖：

∵CJ=JN，∠CJD=∠NJD，JP=JP，

∴△CJD≌△NJD（SAS），

∴∠JCD=∠JND=90°，

則由角平分線的性質(zhì)定理，得CD=ND；

過(guò)點(diǎn)D作DI∥x軸，連接DJ，

∵∠DJN=∠COJ=60°，

∴OI∥JD，

∴四邊形OJDI是平行四邊形，

∴ID=OJ=JN=OC=6，

在Rt△JDN中，∠JDN=30°，

∴JD=2JN=12；

∴點(diǎn)D的斜坐標(biāo)為（6，12）；

綜合上述，點(diǎn)D的斜坐標(biāo)為：（，3）或（6，12）．