Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，，點(diǎn)O是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以OB為半徑的與射線BA和邊BC分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)AM，作∠CMN=∠BAM，射線MN與邊AD、射線CD分別交于點(diǎn)F、N．

（1）當(dāng)點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求DF的長(zhǎng)；

（2）分別聯(lián)結(jié)AN、MD，當(dāng)AN//MD時(shí)，求MN的長(zhǎng)；

（3）將繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到，如果以點(diǎn)N為圓心的與都內(nèi)切，求的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）DF的長(zhǎng)為；（2）MN的長(zhǎng)為5；（3）的半徑長(zhǎng)為．

【解析】

（1）作于，根據(jù)中位線定理得出四邊形是平行四邊形，從而利用解直角三角形即可求算半徑，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求即可；

（2）先證，再證，從而證明，得到，再通過(guò)平行證明，從而得到，通過(guò)兩式相乘得出再根據(jù)平行得出， 從而得出答案．

（3）通過(guò)圖形得出垂直平分,從而得出，再利用解三角函數(shù)即可得出答案．

（1）如圖，作于：

∵為中點(diǎn)，

∴

∴

∴

∴

設(shè)半徑為，在中：

解得：

∵分別為中點(diǎn)

∴

又∵

∴

∴

∴四邊形是平行四邊形

∴

∴

（2）如圖：連接

∵

∴

又∵

∴

又∵

∴

∴①

又∵

∴

∴②

由①②得;

∴

∴

故MN的長(zhǎng)為5；

（3）作如圖：

∵圓與圓外切且均與圓內(nèi)切

設(shè)圓半徑為，圓半徑為

∴

∴在的中垂線上

∴垂直平分

∴

∵

∴點(diǎn)在圓上

∴

解得：

的半徑長(zhǎng)為