Question

【題目】如圖1，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)、B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C

(1) 求拋物線的解析式

(2) 拋物線上一點(diǎn)D，滿足S△DAC＝S△OAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)

(3) 如圖2，已知N(0，1)，將拋物線在點(diǎn)A、B之間部分（含點(diǎn)A、B）沿x軸向上翻折，得到圖T（虛線部分），點(diǎn)M為圖象T的頂點(diǎn)．現(xiàn)將圖象保持其頂點(diǎn)在直線MN上平移，得到的圖象T1與線段BC至少有一個(gè)交點(diǎn)，求圖象T1的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（，）或（，）；（3） 圖象T1頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

【解析】試題分析：（1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）分兩種情況討論：當(dāng)D在直線AC的左側(cè)時(shí)和當(dāng)D在直線AC的右側(cè)時(shí)，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）兩種極值情況求得m的值,兩值之間范圍即符合題意

解：（1）將A(1,0)，B(4，0)代入拋物線y＝x2＋bx＋c解析式得：

，

解得：b=-5，c=4，

∴拋物線的解析式為：y=x2-5x+4；

（2）∵A（1,0），C（0,4），

∴直線AC的解析式為，

當(dāng)D在直線AC的左側(cè)時(shí)，

∵

∴OD∥AC，

∴直線OD的解析式為，

∴

方程組無解，

∴D不在直線AC的左側(cè)

當(dāng)D在直線AC的右側(cè)時(shí)，在軸上取點(diǎn)M（2,0），則，過點(diǎn)M作直線DM∥AC交拋物線于點(diǎn)D，則直線DM的解析式為，

∴

解得 ， ，

∴D（，）或（，）

（3）解：設(shè)拋物線：y=x2-5x+4的頂點(diǎn)為G，

則點(diǎn)G(2.5，-2.25)關(guān)于軸對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M(2.5，2.25)，

又∵N（0，1）解得直線MN：，,

∵圖象T頂點(diǎn)在直線MN上,

∴設(shè)圖象T1頂點(diǎn)為，

如圖，由點(diǎn)A（1，0）與M(2.5，2.25)的坐標(biāo)關(guān)系，得到點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn) ,即，

又BC：，

當(dāng)點(diǎn)K在BC上時(shí), ，

∴，

∴

∵

∴點(diǎn)K在線段BC上,

設(shè)圖象T1所在拋物線方程為：，點(diǎn)L為直線BC與拋物線的交點(diǎn)，則點(diǎn)L的坐標(biāo)滿足下列兩個(gè)方程：，，

∴點(diǎn)L的橫坐標(biāo)是方程：的解，

當(dāng)圖象T1與直線BC相切時(shí)有：

，

∴ ，

∴,

∵,

∴點(diǎn)L在圖象T1上,

∵，

∴點(diǎn)L在段BC上

∴圖象T1頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍：.