【題目】如圖,拋物線yx2bxcx軸交于A(-10),與y軸交于C0,-2);直線經(jīng)過點A且與拋物線交于另一點B

1)直接寫出拋物線的解析式 ;

2)如圖(1),點M是拋物線上A,B兩點間的任一動點,MNAB于點N,試求出MN的最大值 ,并求出MN最大時點M的坐標;

3)如圖(2),連接AC,已知點P的坐標為(2,1),點Q為對稱軸左側(cè)的拋物線上的一動點,過點QQFx軸于點F,是否存在這樣的點Q,使得∠FQP=∠CAO.若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1yx2x2 ;(2;M,);(3)存在;(,)或(,

【解析】

1)把A,C兩點坐標代入yx2bxc求出b,c的值即可;

2)過點MMEx軸于點D,交AB于點E,設(shè)M(m,m2m2),則E(m,m),可求出ME=-m2m,證明△AED∽△MENMN=-m2m,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論;

3)點Q有兩個位置,使得∠FQP=∠CAO,分別求出此時PQ的解析式,與拋物線方程聯(lián)立方程組,求出方程組的解即為Q點的坐標.

解:(1)將A(-1,0),C(0,-2)代入解析中得

,解得

∴拋物線的解析式為yx2x2,

2)如圖,過點MMEx軸于點D,交AB于點E.

設(shè)M(mm2m2) (-1m),

E(m,m),

ME=(m)-(m2m2)=-m2m.

在△AED與△MEN中,∠AED=∠MEN,∠ADE=∠MNE

∴△AED∽△MEN,

MNME(-m2m)=-m2m (-1m),

∴當(dāng)時,MN最大,為

此時M,).

3)存在,

由題易知,拋物線的對稱軸為直線

過點PPGy軸于點G,連接OP,

容易發(fā)現(xiàn)OGOA1PGOC2,∠PGO=∠COA90°,

∴△PGO≌△COA,

∴∠POG=∠CAO,

延長PO交拋物線于點Q1,過Q1Q1F1x軸于點F1

此時∠F1Q1P=∠POG=∠CAO.

易知直線OP的解析式為,

,

解得(舍去),

.

同理,在y軸上找一點O′,使OGOG1,

容易證明△PGO′≌△COA,

∴∠POG=∠CAO,

延長PO′交拋物線于點Q2,

過點Q2Q2F2x軸于點F2

此時,∠F2Q2P=∠POG=∠CAO.

易知直線OP的解析式為

,

解得,(舍去),

.

∴點Q的坐標為(,)或().

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