【題目】如圖,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是∠ABC的平分線,DE⊥BC,垂足為D.
(1)請你寫出圖中所有的等腰三角形;
(2)請你判斷AD與BE垂直嗎?并說明理由.
(3)如果BC=10,求AB+AE的長.
【答案】(1)△ABC,△ABD,△ADE,△EDC(2)垂直,理由見解析(3)10.
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的定義判斷;
(2)由題意可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對稱,可得出BE⊥AD;
(3)根據(jù)(2),可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對稱,且△DEC為等腰直角三角形,可推出AB+AE=BD+DC=BC=10.
(1)△ABC等腰直角三角形,BE為角平分線;易證△ABE≌△DBE,即AB=BD,AE=DE,所以△ABD和△ADE均為等腰三角形;∠C=45°,ED⊥DC,△EDC也符合題意,綜上所述符合題意的三角形為有△ABC,△ABD,△ADE,△EDC;
(2)AD與BE垂直.
證明:由BE為∠ABC的平分線,
知∠ABE=∠DBE,∠BAE=∠BDE=90°,AE=DE,
∴△ABE沿BE折疊,一定與△DBE重合.
∵A、D是對稱點,
∴AD⊥BE;
(3)∵△ABD,△ADE,△EDC是等腰三角形
∴AB=BD,AE=DE=DC,
∴AB+AE=BD+DC=BC=10.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,P為AD上一點,將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點O,且OE=OD,則AP的長為_____.
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【題目】如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,拋物線的頂點坐標(biāo)是A(1,4),與x軸的一個交點是B(3,0),下列結(jié)論:①abc>0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c=4有兩個相等的實數(shù)根;④拋物線與x軸的另一個交點是(﹣2.0);⑤x(ax+b)≤a+b,其中正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】某愛心企業(yè)在政府的支持下投入資金,準(zhǔn)備修建一批室外簡易的足球場和籃球場,供市民免費使用,修建1個足球場和1個籃球場共需8.5萬元,修建2個足球場和4個籃球場共需27萬元.
(1)求修建一個足球場和一個籃球場各需多少萬元?
(2)該企業(yè)預(yù)計修建這樣的足球場和籃球場共20個,投入資金不超過90萬元,求至少可以修建多少個足球場?
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【題目】如圖在△ABC中,BF、CF是角平分線,DE∥BC,分別交AB、AC于點D、E,DE經(jīng)過點F.結(jié)論:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE; ③△ADE的周長=AB+AC;④BF=CF.其中正確的是______.(填序號)
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【題目】(閱讀材料)
因式分解:.
解:將“”看成整體,令,則原式.
再將“”還原,原式.
上述解題用到的是“整體思想”,整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法.
(問題解決)
(1)因式分解:;
(2)因式分解:;
(3)證明:若為正整數(shù),則代數(shù)式的值一定是某個整數(shù)的平方.
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【題目】已知Rt△ABC中,AC=4,BC=3,∠ACB=90°,以AC為一邊在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD,則線段BD的長為_____.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,
(1)請你利用直尺和圓規(guī)完成如下操作:
①作△ABC的角平分線AD;
②作邊AB的垂直平分線EF,EF與AD相交于點P;
③連接PB,PC.
請你觀察圖形解答下列問題:
(2)線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系是 ;請說明理由.
(3)若∠ABC=70°,求∠BPC的度數(shù).
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【題目】把圖中陰影部分的小正方形移動一個,使它與其余四個陰影部分的正方形組成一個既是軸對稱又是中心對稱的新圖形,這樣的移法,正確的是( 。
A. 6→3 B. 7→16 C. 7→8 D. 6→15
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