Question

【題目】如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線(xiàn)交射線(xiàn)AM于點(diǎn)N．

（1）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)（如圖1），求證：M為AN的中點(diǎn)；

（2）將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；

（3）將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）△ACN仍為等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題（1）由EN∥AD和點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)可以證到△ADM≌△NEM，從而證到M為AN的中點(diǎn)．

（2）易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，從而可以證到△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．

（3）同（2）中的解題可得AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=180°﹣∠CBN，從而可以證到△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，則有△ACN為等腰直角三角形．

試題解析：解：（1）證明：如圖1，

∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，∴DM=EM．

在△ADM和△NEM中，∵，∴△ADM≌△NEM（AAS）．

∴AM=MN．∴M為AN的中點(diǎn)．

（2）證明：如圖2，

∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．

∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．

∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．

∵A，B，E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE．

∵AD=AB，∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．

（3）△ACN仍為等腰直角三角形．證明如下：

如圖3，此時(shí)A、B、N三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．

∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．

∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．

∵A、B、N三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE．

∵AD=AB，∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，∵，∴△ABC≌△NEC（SAS）．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．