【題目】如圖,已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,點M為DE的中點,過點E與AD平行的直線交射線AM于點N.
(1)當(dāng)A,B,C三點在同一直線上時(如圖1),求證:M為AN的中點;
(2)將圖1中的△BCE繞點B旋轉(zhuǎn),當(dāng)A,B,E三點在同一直線上時(如圖2),求證:△ACN為等腰直角三角形;
(3)將圖1中△BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時,(2)中的結(jié)論是否仍成立?若成立,試證明之,若不成立,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)△ACN仍為等腰直角三角形,證明見解析.
【解析】
試題(1)由EN∥AD和點M為DE的中點可以證到△ADM≌△NEM,從而證到M為AN的中點.
(2)易證AB=DA=NE,∠ABC=∠NEC=135°,從而可以證到△ABC≌△NEC,進而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.
(3)同(2)中的解題可得AB=DA=NE,∠ABC=∠NEC=180°﹣∠CBN,從而可以證到△ABC≌△NEC,進而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.
試題解析:解:(1)證明:如圖1,
∵EN∥AD,∴∠MAD=∠MNE,∠ADM=∠NEM.
∵點M為DE的中點,∴DM=EM.
在△ADM和△NEM中,∵,∴△ADM≌△NEM(AAS).
∴AM=MN.∴M為AN的中點.
(2)證明:如圖2,
∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形,∴AB=AD,CB=CE,∠CBE=∠CEB=45°.
∵AD∥NE,∴∠DAE+∠NEA=180°.
∵∠DAE=90°,∴∠NEA=90°.∴∠NEC=135°.
∵A,B,E三點在同一直線上,∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°.∴∠ABC=∠NEC.
∵△ADM≌△NEM(已證),∴AD=NE.
∵AD=AB,∴AB=NE.
在△ABC和△NEC中,∵,∴△ABC≌△NEC(SAS).
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN為等腰直角三角形.
(3)△ACN仍為等腰直角三角形.證明如下:
如圖3,此時A、B、N三點在同一條直線上.
∵AD∥EN,∠DAB=90°,∴∠ENA=∠DAN=90°.
∵∠BCE=90°,∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°.
∵A、B、N三點在同一條直線上,∴∠ABC+∠CBN=180°.∴∠ABC=∠NEC.
∵△ADM≌△NEM(已證),∴AD=NE.
∵AD=AB,∴AB=NE.
在△ABC和△NEC中,∵,∴△ABC≌△NEC(SAS).
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN為等腰直角三角形.
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【題目】某超市對進貨價為10元/千克的某種蘋果的銷售情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)每天銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)存在一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍);
(2)應(yīng)怎樣確定銷售價,使該品種蘋果的每天銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】已知:如圖,△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,過點D作DE⊥AC于點E,交BC的延長線于點F.
求證:
(1)AD=BD;
(2)DF是⊙O的切線.
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【題目】某校為提升硬件設(shè)施,決定采購80臺電腦,現(xiàn)有A,B兩種型號的電腦可供選擇.已知每臺A型電腦比B型的貴2000元,2臺A型電腦與3臺B型電腦共需24000元.
(1)分別求A,B兩種型號電腦的單價;
(2)若A,B兩種型號電腦的采購總價不高于38萬元,則A型電腦最多采購多少臺?
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【題目】如圖,利用關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標特點
(1)作關(guān)于軸對稱的圖形;
(2)寫出、、關(guān)于軸的對稱點的坐標;
(3)直接寫出的面積.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=600,CD是⊙O的直徑,點P是CD延長線上的一點,且AP=AC.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若PD=,求⊙O的直徑.
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【題目】放學(xué)后,小剛和同學(xué)邊聊邊往家走,突然想起今天是媽媽的生日,趕緊加快速度,跑步回家.小剛離家的距離和放學(xué)后的時間之間的關(guān)系如圖所示,給出下列結(jié)論:①小剛家離學(xué)校的距離是;②小剛跑步階段的速度為;③小剛回到家時已放學(xué)10分鐘;④小剛從學(xué);氐郊业钠骄俣仁.其中正確的個數(shù)是( )
A.4B.3C.2D.1
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【題目】如圖,函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(﹣1,0)和(m,0),請思考下列判斷:①abc<0;②4a+c<2b;③=1﹣;④am2+(2a+b)m+a+b+c<0;⑤|am+a|=正確的是( 。
A. ①③⑤ B. ①②③④⑤ C. ①③④ D. ①②③⑤
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【題目】在三個不透明的布袋中分別放入一些除顏色不同外其他都相同的玻璃球,并攪勻,具體情況如下表:
在下列事件中,哪些是隨機事件,哪些是必然事件,哪些是不可能事件?
(1) 隨機從第一個布袋中摸出一個玻璃球,該球是黃色、綠色或紅色的;
(2) 隨機的從第二個布袋中摸出兩個玻璃球,兩個球中至少有一個不是綠色的;
(3) 隨機的從第三個布袋中摸出一個玻璃球,該球是紅色的;
(4)隨機的從第一個布袋中和第二個布袋中各摸出一個玻璃球,兩個球的顏色一致.
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