Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，M為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（-2，n），求使MN+BN的值最小時(shí)n的值；

（3）P是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄浚菏欠翊嬖邳c(diǎn)P，使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-2，0）、B（4，0）、點(diǎn)C（0，-）；（2）n=；（3）存在點(diǎn)（6，2）、（-4，2），使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似．

【解析】試題分析：（1）令y=0可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，令x=0可求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；

（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短作M點(diǎn)關(guān)于直線x=-2的對(duì)稱點(diǎn)M′，當(dāng)N（-2，N）在直線M′B上時(shí)，MN+BN的值最��；

（3）需要分類討論：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB的長(zhǎng)度，然后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）令y=0得x1=-2，x2=4，

∴點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）

令x=0得y=-，

∴點(diǎn)C（0，-）

(2)過(guò)點(diǎn)A(－2，0)作y軸的平行線l，則點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′(－8，0)，

又M(1，－)，連接B′M與l的交點(diǎn)即為MN＋BN值的最小點(diǎn)．

設(shè)直線B′M的解析式為y＝kx＋b，

則，解得，

∴，

∴當(dāng)x＝－2時(shí)，n＝．

(3)假設(shè)存在點(diǎn)P(t，)，使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，下面分情況討論：

(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，顯然∠PBA為鈍角，∠BAD與∠ABD為銳角，過(guò)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，易得D(2，－)．

∵∠PAF＝∠DAE，則△PAF∽△DAE，

∴，

∴，

解得t＝6，或t＝－2(舍)．

t＝6時(shí)，PF＝2，AF＝8，PA＝6，

又∵AD＝3，

∴，，

所以，

∴t＝6時(shí)，△PAB與△BAD相似，且P(6，2)．

②若∠PAF＝∠DBE，則△PAF∽△DBE，

∴，

∴，解得t＝8，或t＝－2(舍)．

t＝8時(shí)，AF＝10，PF＝5，PA＝5，

又∵BD＝，

∴，，，

所以，且，

∴t＝8時(shí)，△PAB與△BAD不可能相似．

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，

根據(jù)對(duì)稱性易知存在點(diǎn)P(－4，2)，使△PAB∽△BDA．

綜上所述，存在點(diǎn)(6，2)、(－4，2)、，使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似．