Question

【題目】如圖，∠BCA＝90°，點O在△ABC的斜邊AB上，以OB為半徑的⊙O經過點B，與AC相切于點D，連結BD．

（1）求證；BD平分∠ABC；

（2）若∠ABC＝60°，OB＝2，計算△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，由AC與圓相切，得到∠ODA為直角，再由∠C為直角，利用同位角相等兩直線平行，得到OD與BC平行，由兩直線平行內錯角相等，及等邊對等角，等量代換即可得證；
（2）由∠ABC的度數，求出∠A的度數，根據OD的長，利用銳角三角函數定義求出OA的長，由OA+OB求出AB的長，再利用銳角三角函數定義求出BC與AC的長，即可確定出三角形ABC面積．

解：（1）如圖，連結OD，

∵∠BCA＝90°，點O在△ABC的斜邊AB上，以OB為半徑的⊙O經過點B，與AC相切于點D，

∴∠ODA＝∠C＝90°，OB＝OD，

∴BC∥OD，∠OBD＝∠ODB，

∴∠CBD＝∠ODB，

∴∠OBD＝∠CBD，

∴BD平分∠ABC；

（2）∵∠ABC＝60°，OB＝2，且∠ODA＝∠C＝90°．

∴∠A＝90°﹣60°＝30°，OD＝OB＝2．

∴OA＝＝4，

∴AB＝2+4＝6，

∴BC＝6sin30°＝3，AC＝6cos30°＝3，

∴S△ABC＝＝ ．