Question

【題目】如圖，已知AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝2AD＝4，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在邊AB、CD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段MC上運(yùn)動(dòng)，連接EF、EP、PF，則△EFP的周長(zhǎng)最小值為_____．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

作梯形ABCD關(guān)于AB的軸對(duì)稱圖形，將 QC'繞點(diǎn)C'逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F'，連接F'M，交C' D'于點(diǎn)G，交AB與點(diǎn)E',延長(zhǎng)QE'交CD于點(diǎn)F，，則有GE'=FE'，P與Q是關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F'、G、P三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，△FEP的周長(zhǎng)最小即為F'G+GE'+E'P，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，F'M為所求長(zhǎng)度；過點(diǎn)F'作F'H⊥BC'，M是BC中點(diǎn)，則Q是BC'中點(diǎn)，由已知條件∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，可得C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，所以F'H=，HC'=7，在Rt△MF'H中，F'M=2.

解：作梯形ABCD關(guān)于AB的軸對(duì)稱圖形，將 QC'繞點(diǎn)C'逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F'，連接F'M，交C' D'于點(diǎn)G，交AB與點(diǎn)E',延長(zhǎng)QE'交CD于點(diǎn)F，

則有GE'＝FE'，P與Q是關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，

∴PF＝GQ，

又∵GF'＝GQ，

∴當(dāng)點(diǎn)F'、G、P三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，△FEP的周長(zhǎng)最小即為F'G+GE'+E'P，

此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，

∴F'M為所求長(zhǎng)度；

過點(diǎn)F'作F'H⊥BC'，

∵M是BC中點(diǎn)，

∴Q是BC'中點(diǎn)，

∵∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝2AD＝4，

∴C'Q＝F'C'＝2，∠F'C'H＝60°，

∴F'H＝，HC'＝7，

在Rt△MF'H中，F'M＝2；

∴△FEP的周長(zhǎng)最小值為2；

故答案為2；