Question

【題目】如圖，是半徑為的⊙的直徑，直線與所在直線垂直，垂足為，，點是⊙上異于、的動點，直線、分別交于、兩點.

（1）當(dāng)點為中點時，連接，，判斷直線與⊙是否相切并說明理由.

（2）點是⊙上異于、的動點，以為直徑的動圓是否經(jīng)過一個定點，若是，請確定該定點的位置；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）CP為⊙O切線，理由詳見解析；（2）以 MN 為直徑的動圓過定點D，CD=

【解析】

（1）如圖1，根據(jù)同角的余角相等可得：∠AMC=∠ABP=∠OPB，從而得OP⊥PC，可知：直線PC與⊙O相切；
（2）如圖2，設(shè)該圓與AC的交點為D，連接DM、DN，證△MDC∽△DNC得比例式，同理證△ACM∽△NCB，得DC的長，則以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過定點D，此頂點D在直線AB上且CD的長為，同理在MN的右側(cè) 還有一個點D'，到C的距離也是．．

（1）直線PC與⊙O相切，
理由是：如圖所示：

∵AC⊥MN，
∴∠ACM=90°，
∴∠A+∠AMC=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=∠NPM=90°，
∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，
∴∠ABP=∠AMC，
∵OP=OB，
∴∠ABP=∠OPB，
Rt△PMN中，C為MN的中點，
∴PC=CN，
∴∠PNM=∠NPC，
∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，
即OP⊥PC，
∴直線PC與⊙O相切；
（2）如圖2，設(shè)該圓與AC的交點為D，連接DM、DN，
∵MN為直徑，
∴∠MDN=90°，
則∠MDC+∠NDC=90°，
∵∠DCM=∠DCN=90°，
∴∠MDC+∠DMC=90°，
∴∠NDC=∠DMC，
則△MDC∽△DNC，
∴，即DC2=MCNC
∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，
∴△ACM∽△NCB，
∴，即MCNC=ACBC；
即ACBC=DC2，
∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3-2=1，
∴DC2=5，
∴DC=，
∵MN⊥DD'，
∴D'C=DC=，
∴以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過兩個定點D和D'，此定點在C的距離都是．