Question

【題目】如圖，在中，，取的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、、、，已知，，，，當(dāng)的值最小時(shí)，則的值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，F為EM與AC交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于G，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，根據(jù)題意得出當(dāng)EF+BF最小時(shí)點(diǎn)F的位置，再通過(guò)平行線的性質(zhì)得到∠EAG=∠BDC，從而求出EG的長(zhǎng)，再判定四邊形EGCN為矩形，得到CN，最后利用△MFC∽MEN將轉(zhuǎn)化為求值即可.

解：當(dāng)EF+BF最小時(shí)，如圖，點(diǎn)M和點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，F為EM與AC交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于G，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

此時(shí)EF+BF的最小值即為EF+FM，即EM，

∵AC=，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，BC=2，

∴AD=CD=，

∴tan∠BDC=，

∵AE∥BD，

∴∠EAG=∠BDC，

∴tan∠EAG==，設(shè)EG=x，

∴AG=x，而AE=，

在△AEG中，，

解之得：x=或（舍），

由題意可得：∠N=∠ACB=∠EGC=90°，

∴四邊形EGCN為矩形，

∴EG=NC=，

∵AC⊥BC，EN⊥BC，

∴AC∥EN，

∴△MFC∽MEN，

∴，則，

故選C.