Question

【題目】如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足H在半徑OB上，AH=5，CD=，點(diǎn)E在弧AD上，射線AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．

（1）求圓O的半徑；

（2）如果AE=6，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1) 圓的半徑為4.5；(2) EF=．

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)垂徑定理得：DH=2，設(shè)圓O的半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論；

（2）過O作OG⊥AE于G，證明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的長(zhǎng)，從而得EF的長(zhǎng)．

（1）連接OD，

∵直徑AB⊥弦CD，CD=4，

∴DH=CH=CD=2，

在Rt△ODH中，AH=5，

設(shè)圓O的半徑為r，

根據(jù)勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，

解得：r=4.5，

則圓的半徑為4.5；

（2）過O作OG⊥AE于G，

∴AG=AE=×6=3，

∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，

∴△AGO∽△AHF，

∴，

∴，

∴AF=，

∴EF=AF﹣AE=﹣6=．