【題目】在平面直角坐標(biāo)中,四邊形為矩形,如圖1,點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,已知滿足.
(1)求的值;
(2)①如圖1,分別為上一點(diǎn),若,求證:;
②如圖2,分別為上一點(diǎn),交于點(diǎn). 若,,則___________
(3)如圖3,在矩形中,,點(diǎn)在邊上且,連接,動(dòng)點(diǎn)在線段是(動(dòng)點(diǎn)與不重合),動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,且,連接交于點(diǎn),作于. 試問(wèn):當(dāng)在移動(dòng)過(guò)程中,線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若不變求出線段的長(zhǎng)度;若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)m=5,n=5;(2)①見(jiàn)解析;②;(3)當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化,它的長(zhǎng)度為.
【解析】
(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.
(2)①作輔助線,構(gòu)建兩個(gè)三角形全等,證明△COE≌△CNQ和△ECP≌△QCP,由PQ=PE=OE+OP,得出結(jié)論;
②作輔助線,構(gòu)建平行四邊形和全等三角形,可得平行四邊形CSRE和平行四邊形CFGH,則CE=SR,CF=GH,證明△CEN≌△CE′O和△E′CF≌△ECF,得EF=E′F,設(shè)EN=x,在Rt△MEF中,根據(jù)勾股定理列方程求出EN的長(zhǎng),再利用勾股定理求CE,則SR與CE相等,問(wèn)題得解;
(3)在(1)的條件下,當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化,求出MN的長(zhǎng)即可;如圖4,過(guò)P作PD∥OQ,證明△PDF是等腰三角形,由三線合一得:DM=FD,證明△PND≌△QNA,得DN=AD,則MN=AF,求出AF的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.
解:(1)∵,
∴n5=0,5m=0,
∴m=5,n=5;
(2)①如圖1中,在PO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使NQ=OE,
∵CN=OM=OC=MN,∠COM=90°,
∴四邊形OMNC是正方形,
∴CO=CN,
∵∠EOC=∠N=90°,
∴△COE≌△CNQ(SAS),
∴CQ=CE,∠ECO=∠QCN,
∵∠PCQ=45°,
∴∠QCN+∠OCP=90°45°=45°,
∴∠ECP=∠ECO+∠OCP=45°,
∴∠ECP=∠PCQ,
∵CP=CP,
∴△ECP≌△QCP(SAS),
∴EP=PQ,
∵EP=EO+OP=NQ+OP,
∴PQ=OP+NQ;
②如圖2中,過(guò)C作CE∥SR,在x軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)E′,使OE′=EN,得平行四邊形CSRE,且△CEN≌△CE′O,則CE=SR,
過(guò)C作CF∥GH交OM于F,連接FE,得平行四邊形CFGH,則CF=GH=,
∵∠SDG=135°,
∴∠SDH=180°135°=45°,
∴∠FCE=∠SDH=45°,
∴∠NCE+∠OCF
∵△CEN≌△CE′O,
∴∠E′CO=∠ECN,CE=CE′,
∴∠E′CF=∠E′CO+∠OCF=45°,
∴∠E′CF=∠FCE,
∵CF=CF,
∴△E′CF≌△ECF,
∴E′F=EF
在Rt△COF中,OC=5,FC=,
由勾股定理得:OF=,
∴FM=5=,
設(shè)EN=x,則EM=5x,FE=E′F=x+,
則(x+)2=()2+(5x)2,
解得:x=,
∴EN=,
由勾股定理得:CE=,
∴SR=CE=;
(3)當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化.
理由:如圖3中,過(guò)P作PD∥OQ,交AF于D.
∵OF=OA,
∴∠OFA=∠OAF=∠PDF,
∴PF=PD,
∵PF=AQ,
∴PD=AQ,
∵PM⊥AF,
∴DM=FD,
∵PD∥OQ,
∴∠DPN=∠PQA,
∵∠PND=∠QNA,
∴△PND≌△QNA,
∴DN=AN,
∴DN=AD,
∴MN=DM+DN=DF+AD=AF,
∵OF=OA=5,OC=3,
∴CF=4,
∴BF=BCCF=54=1,
∴AF=,
∴MN=AF=,
∴當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化,它的長(zhǎng)度為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)裝有進(jìn)水管和出水管的容器,根據(jù)實(shí)際需要,從某時(shí)刻開(kāi)始的2分鐘內(nèi)只進(jìn)水不出水,在隨后的4分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水,接著關(guān)閉進(jìn)水管直到容器內(nèi)的水放完.假設(shè)每分鐘的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù),容器內(nèi)的水量y(單位:升)與時(shí)間x(單位:分鐘)之間的部分關(guān)系如圖所示.
(1)當(dāng)2≤x≤6時(shí),求y與x的表達(dá)式;
(2)請(qǐng)將圖象補(bǔ)充完整;
(3)從進(jìn)水管開(kāi)始進(jìn)水起,求該容器內(nèi)的水量不少于7.5升所持續(xù)時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明和小剛進(jìn)行賽跑訓(xùn)練,他們選擇了一個(gè)土坡,按同一路線同時(shí)出發(fā),從坡腳跑到坡頂再原路返回坡腳.他們倆上坡的平均速度不同,下坡的平均速度則是各自上坡平均速度的1. 5倍.設(shè)兩人出發(fā)x min后距出發(fā)點(diǎn)的距離為y m.圖中折線段OBA表示小明在整個(gè)訓(xùn)練中y與x的函數(shù)關(guān)系,其中點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(2,480).
(1)點(diǎn)B所表示的實(shí)際意義是 ;
(2)求出AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如果小剛上坡平均速度是小明上坡平均速度的一半,那么兩人出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間第一次相遇?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們知道,任意一個(gè)正整數(shù)都可以進(jìn)行這樣的分解:(是正整數(shù),且),在的所有這種分解中,如果兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小,我們就稱是的最佳分解,并規(guī)定.
例如:18可以分解成,,,因?yàn)?/span>,所以是18的最佳分解,所以.
(1)如果一個(gè)正整數(shù)是另外一個(gè)正整數(shù)的平方,我們稱正整數(shù)是完全平方數(shù).
求證:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù),總有;
(2)如果一個(gè)兩位正整數(shù),(,為自然數(shù)),交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù),得到的新數(shù)減去原來(lái)的兩位正整數(shù)所得的差為9,那么我們稱這個(gè)為“求真抱樸數(shù)”,求所有的“求真抱樸數(shù)”;
(3)在(2)所得的“求真抱樸數(shù)”中,求的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(﹣3,1),B(0,3),C(0,1)
(1)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△A1B1C1;
(2)分別連結(jié)AB1、BA1后,求四邊形AB1A1B的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,若直線與直線交于點(diǎn),且兩條直線與軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn);那么的面積為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),已知點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式;
(2)連結(jié),求的面積;
(3)觀察圖象直接寫出時(shí)的取值范圍是 ;
(4)直接寫出:為軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形OABC,點(diǎn)C在x軸上,直線y=x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,菱形OABC的邊長(zhǎng)是,若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,則k的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連接AP,并廷長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是( 。
①AD是∠BAC的平分線
②∠ADC=60°
③點(diǎn)D在AB的垂直平分線上
④若AD=2dm,則點(diǎn)D到AB的距離是1dm
⑤S△DAC:S△DAB=1:2
A.2B.3C.4D.5
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