Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)中，四邊形為矩形，如圖1，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，已知滿足．

（1）求的值；

（2）①如圖1，分別為上一點(diǎn)，若，求證：；

②如圖2，分別為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)． 若，，則___________

（3）如圖3，在矩形中，，點(diǎn)在邊上且，連接，動(dòng)點(diǎn)在線段是（動(dòng)點(diǎn)與不重合），動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，連接交于點(diǎn)，作于． 試問(wèn)：當(dāng)在移動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變求出線段的長(zhǎng)度；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝5，n＝5；（2）①見(jiàn)解析；②；（3）當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，它的長(zhǎng)度為．

【解析】

（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

（2）①作輔助線，構(gòu)建兩個(gè)三角形全等，證明△COE≌△CNQ和△ECP≌△QCP，由PQ＝PE＝OE＋OP，得出結(jié)論；

②作輔助線，構(gòu)建平行四邊形和全等三角形，可得平行四邊形CSRE和平行四邊形CFGH，則CE＝SR，CF＝GH，證明△CEN≌△CE′O和△E′CF≌△ECF，得EF＝E′F，設(shè)EN＝x，在Rt△MEF中，根據(jù)勾股定理列方程求出EN的長(zhǎng)，再利用勾股定理求CE，則SR與CE相等，問(wèn)題得解；

（3）在（1）的條件下，當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，求出MN的長(zhǎng)即可；如圖4，過(guò)P作PD∥OQ，證明△PDF是等腰三角形，由三線合一得：DM＝FD，證明△PND≌△QNA，得DN＝AD，則MN＝AF，求出AF的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．

解：（1）∵，

∴n5＝0，5m＝0，

∴m＝5，n＝5；

（2）①如圖1中，在PO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使NQ＝OE，

∵CN＝OM＝OC＝MN，∠COM＝90°，

∴四邊形OMNC是正方形，

∴CO＝CN，

∵∠EOC＝∠N＝90°，

∴△COE≌△CNQ（SAS），

∴CQ＝CE，∠ECO＝∠QCN，

∵∠PCQ＝45°，

∴∠QCN＋∠OCP＝90°45°＝45°，

∴∠ECP＝∠ECO＋∠OCP＝45°，

∴∠ECP＝∠PCQ，

∵CP＝CP，

∴△ECP≌△QCP（SAS），

∴EP＝PQ，

∵EP＝EO＋OP＝NQ＋OP，

∴PQ＝OP＋NQ；

②如圖2中，過(guò)C作CE∥SR，在x軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)E′，使OE′＝EN，得平行四邊形CSRE，且△CEN≌△CE′O，則CE＝SR，

過(guò)C作CF∥GH交OM于F，連接FE，得平行四邊形CFGH，則CF＝GH＝，

∵∠SDG＝135°，

∴∠SDH＝180°135°＝45°，

∴∠FCE＝∠SDH＝45°，

∴∠NCE＋∠OCF＝45°，

∵△CEN≌△CE′O，

∴∠E′CO＝∠ECN，CE＝CE′，

∴∠E′CF＝∠E′CO＋∠OCF＝45°，

∴∠E′CF＝∠FCE，

∵CF＝CF，

∴△E′CF≌△ECF，

∴E′F＝EF

在Rt△COF中，OC＝5，FC＝，

由勾股定理得：OF＝，

∴FM＝5＝，

設(shè)EN＝x，則EM＝5x，FE＝E′F＝x＋，

則（x＋）2＝（）2＋（5x）2，

解得：x＝，

∴EN＝，

由勾股定理得：CE＝，

∴SR＝CE＝；

（3）當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化．

理由：如圖3中，過(guò)P作PD∥OQ，交AF于D．

∵OF＝OA，

∴∠OFA＝∠OAF＝∠PDF，

∴PF＝PD，

∵PF＝AQ，

∴PD＝AQ，

∵PM⊥AF，

∴DM＝FD，

∵PD∥OQ，

∴∠DPN＝∠PQA，

∵∠PND＝∠QNA，

∴△PND≌△QNA，

∴DN＝AN，

∴DN＝AD，

∴MN＝DM＋DN＝DF＋AD＝AF，

∵OF＝OA＝5，OC＝3，

∴CF＝4，

∴BF＝BCCF＝54＝1，

∴AF＝，

∴MN＝AF＝，

∴當(dāng)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，它的長(zhǎng)度為．