Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，過點C作CR⊥FG于點R，再過點C作PQ⊥CR分別交邊DE，BH于點P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，則CR的長為（ ）

A.14B.15

C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接EC，CH，設(shè)AB交CR于點J，先證得△ECP∽△HCQ，可得，進而可求得CQ＝10，AC:BC＝1:2，由此可設(shè)AC＝a，則BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可證得四邊形ABQC為平行四邊形，由此可得AB＝CQ＝10，再根據(jù)勾股定理求得，，利用等積法求得，進而可求得CR的長．

解：如圖，連接EC，CH，設(shè)AB交CR于點J，

∵四邊形ACDE，四邊形BCIH都是正方形，

∴∠ACE＝∠BCH＝45°，

∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，

∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，

∴點E、C、H在同一直線上，點A、C、I在同一直線上，

∵DE∥AI∥BH，

∴∠CEP＝∠CHQ，

∵∠ECP＝∠QCH，

∴△ECP∽△HCQ，

∴，

∵PQ＝15，

∴PC＝5，CQ＝10，

∵EC:CH＝1:2，

∴AC:BC＝1:2，

設(shè)AC＝a，則BC＝2a，

∵PQ⊥CR，CR⊥AB，

∴CQ∥AB，

∵AC∥BQ，CQ∥AB，

∴四邊形ABQC為平行四邊形，

∴AB＝CQ＝10，

∵，

∴，

∴（舍負）

∴，，

∵，

∴，

∵JR＝AF＝AB＝10，

∴CR＝CJ＋JR＝14，

故選：A．