Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點，與x軸交于另一點A，對稱軸x=-2交x軸于點C，直線l過點N（0，-2），且與x軸平行，過點P作PM⊥l于點M，△AOB的面積為2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)∠MPN=∠BAC時，求P點坐標(biāo)；

（3）①求證PM=PC；

②若點Q坐標(biāo)為（0，2），直接寫出PQ+PC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P坐標(biāo)為（，）或（，）；（3）①見解析；②PQ+PC的最小值為4.

【解析】

（1）結(jié)合經(jīng)過原點以及頂點和坐標(biāo)軸進(jìn)行計算即可；（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，），將P點在y軸左和右分類討論解答.（3）①過點P作PD⊥BC于點D，則PD=x+2，DC=，結(jié)合（2），在Rt△PCD中運用勾股定理進(jìn)行計算即可證明；②由①知，PM=PC，當(dāng)Q、P、M三點共線時， PQ+PC的最小值為PQ+PM的最小值，求出最小值即可.

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點，且對稱軸為x=-2，

∴c=0，OA=4，又△AOB的面積為2，

∴BC=1，即頂點B的坐標(biāo)為（-2，-1），

∴，，解得a=，b=1，

∴拋物線的解析式為；

（2）∵BC=1，AC=2，

∴tan∠BAC=，設(shè)P點坐標(biāo)為（x，），如答圖1，當(dāng)點P在y軸右側(cè)，PM=-（-2）=，MN=x，

∴tan∠MPN==，即，此方程無解；

如答圖2，當(dāng)點P在y軸左側(cè)，此時PM=，MN=-x，

∴tan∠MPN==，即，解得，，則，，

∴點P坐標(biāo)為（，）或（，）；

（3）①如答圖3，過點P作PD⊥BC于點D，則PD=x+2，DC=，

由（2）知PM=，在Rt△PCD中，

PC2===PM2，

∴PM=PC；

②由①知，PM=PC，

∴PQ+PC的最小值為PQ+PM的最小值，當(dāng)Q、P、M三點共線時， PQ+PM=QM,

∵Q（0,2）,

∴QM=QN=4,

∴ PQ+PC的最小值為4．