Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)為二次函數(shù)圖象上任一點(diǎn)．

求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

若點(diǎn)是直線(xiàn)上方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)分別作和軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)在的左側(cè))，求周長(zhǎng)的最大值；

是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形？如果存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】；最大周長(zhǎng)為；或或．

【解析】

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）先求解的解析式，證明 得到 利用的坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度，利用三角函數(shù)求解的長(zhǎng)度，建立周長(zhǎng)與的橫坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的最值求周長(zhǎng)的最大值，

（3）分情況討論：以為直角頂點(diǎn)，利用 可直接得到答案，以為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用求解的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式可得答案．

解：（1）

設(shè)拋物線(xiàn)為：

把代入

（2）設(shè)直線(xiàn)為

解得：

軸，軸，

設(shè)

的周長(zhǎng)

當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)最大．

最大周長(zhǎng)為：

（3）如圖，當(dāng)時(shí)，

為拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，與軸交于點(diǎn)，

設(shè)的解析式為：

解得：

為

解得：

或

綜上：以為直角邊的直角三角形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或或．