Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，是⊙的弦，點是延長線的一點，平分交⊙于點，過點作，垂足為點

（1）求證：是⊙的切線；

（2）若，求⊙的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2.5

【解析】

（1）連接CO，易得∠OCA=∠OAC，由AC平分∠FAB，得∠CAE=∠OAC，從而得∠OCA=∠CAE，，進而即可得OC∥FD，即可得到結論；

（2）連接BC，由勾股定理得AC=，易得△ABC∽△ACE，從而得，進而即可求解．

（1）連接CO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠FAB，

∴∠CAE=∠OAC，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC∥FD，

∵CE⊥DF，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）連接BC，

在Rt△ACE中，AC=，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA=90°，

∴∠BCA=∠CEA，

∵∠CAE=∠CAB，

∴△ABC∽△ACE，

∴，

∴，

∴AB=5，

∴AO=2.5，即⊙O的半徑為2.5．