Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿邊OA向終點(diǎn)A運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，PQ2＝y．

（1）直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍：　 　；

（2）當(dāng)PQ＝時，求t的值；

（3）連接OB交PQ于點(diǎn)D，若雙曲線（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)D，問k的值是否變化？若不變化，請求出k的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0≤t≤4）；（2）t1＝2，t2＝；（3）經(jīng)過點(diǎn)D的雙曲線（k≠0）的k值不變，為．

【解析】

（1）過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，由點(diǎn)P，Q的出發(fā)點(diǎn)、速度及方向可找出當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出PE，EQ的長，再利用勾股定理即可求出y關(guān)于t的函數(shù)解析式（由時間=路程÷速度可得出t的取值范圍）；
（2）將PQ=代入（1）的結(jié)論中可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（3）連接OB，交PQ于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值，此題得解．

解：（1）過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，如圖1所示．

當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時（0≤t≤4）時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4-t，3），
∴PE=3，EQ=|4-t-t|=|4-t|，
∴PQ2=PE2+EQ2=32+|4-t|2=t2-20t+25，
∴y關(guān)于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍：y＝t220t+25(0≤t≤4)；
故答案為：y＝t220t+25(0≤t≤4)．
（2）當(dāng)PQ＝時，t220t+25＝()2
整理，得5t2-16t+12=0，
解得：t1=2，t2＝．
（3）經(jīng)過點(diǎn)D的雙曲線y＝ (k≠0)的k值不變．
連接OB，交PQ于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F，如圖2所示．

∵OC=3，BC=4，
∴OB＝＝5．
∵BQ∥OP，
∴△BDQ∽△ODP，
∴ ，
∴OD=3．
∵CB∥OA，
∴∠DOF=∠OBC．
在Rt△OBC中，sin∠OBC＝ ，cos∠OBC＝＝，
∴OF＝ODcos∠OBC＝3×＝，DF＝ODsin∠OBC＝3×＝，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，
∴經(jīng)過點(diǎn)D的雙曲線y＝(k≠0)的k值為×＝．．