Question

【題目】在中，，翻折，使點落在斜邊上某一點處，折痕為（點、分別在邊、上）

當時，若與相似（如圖），求的長；

當點是的中點時（如圖），與相似嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由見解析

【解析】

（1）如圖1，連接CD，由已知條件得到△ABC是等腰直角三角形由于△CEF與△ABC相似，于是得到△CEF也是等腰直角三角形求得∠CEF=∠A=45°，于是得到EF∥AB，由軸對稱的性質等等EF⊥CD，求出CD⊥AB，根據直角三角形的性質即可得到結論；

（2）如圖2，連接CD，與EF交于點Q，根據直角三角形的性質得到CD=DB=AB，于是得到∠DCB=∠B，由軸對稱的性質得到∠CQF=∠DQF=90°，推出∠DCB+∠CFE=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CFE=∠A，即可得到結論．

如圖，連接，

∵，

∴是等腰直角三角形

又∵與相似，

∴也是等腰直角三角形

∴，

∴，

由軸對稱的性質知：，

∴，

又∵，

∴點是的中點，

∴；

當點是的中點時，與相似，

理由如下：如圖，連接，與交于點，

∵是的中線，

∴，

∴，

由軸對稱的性質可知，，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴．