【題目】在平面直角坐標系xOy中,△ABC的頂點坐標分別是A(x1 , y1),B(x2 , y2),C(x3 , y3),對于△ABC的橫長、縱長、縱橫比給出如下定義:
將|x1﹣x2|,|x2﹣x3|,|x3﹣x1|中的最大值,稱為△ABC的橫長,記作Dx;將|y1﹣y2|,|y2﹣y3|,|y3﹣y1|中的最大值,稱為△ABC的縱長,記作Dy;將 叫做△ABC的縱橫比,記作λ= .
例如:如圖1,
△ABC的三個頂點的坐標分別是A(0,3),B(2,1),C(﹣1,﹣2),則Dx=|2﹣(﹣1)|=3,Dy=|3﹣(﹣2)|=5,
所以λ= = .
(1)如圖2,
點A(1,0),
①點B(2,1),E(﹣1,2),
則△AOB的縱橫比λ1=
△AOE的縱橫比λ2=;
②點F在第四象限,若△AOF的縱橫比為1,寫出一個符合條件的點F的坐標;
③點M是雙曲線y= 上一個動點,若△AOM的縱橫比為1,求點M的坐標;
(2)如圖3,
點A(1,0),⊙P以P(0, )為圓心,1為半徑,點N是⊙P上一個動點,直接寫出△AON的縱橫比λ的取值范圍.
【答案】
(1)[ "", "1", "②由點F在第四象限,若△AOF的縱橫比為1,則F(1,﹣1)(在第四象限的角平分線上即可).", "③如圖設(shè)M(xM , yM).
a、當0<xM≤1時,點M在y= 上,則yM>0,
此時△AOM的橫長Dx=1,△AOM的縱長為Dy=yM ,
∵△AOM的縱橫比為1,
∴Dy=1,
∴yM=1或﹣1(舍棄),
∴xM= ,
∴M( ,1).
b、當xM>1時,點M在y= 上,則yM>0,
此時△AOM的橫長Dx=xM , △AOM的縱長為Dy=yM ,
∵△AOM的縱橫比為1,
∴Dy=Dx ,
∴xM=yM
∴yM=± (舍棄),
c、當xM<0時,點M在y= 上,則yM<0,
此時△AOM的橫長Dx=1﹣xM , △AOM的縱長為Dy=﹣yM ,
∵△AOM的縱橫比為1,
∴1﹣xM=﹣yM ,
∴xM= 或 (2)
解:如圖3中,
當N(0,1+ )時,可得△AON的縱橫比λ的最大值= =1+ ,
當AN′與⊙P相切時,切點在第二象限時,可得△AON的縱橫比λ的最小值,
∵OP= ,OA=1,
∴PA=2.AN′= = ,
∴tan∠APN′= ,
∴∠APN′=60°,易知∠APO=30°,作N′H⊥OP于H.
∴∠HPN′=30°,
∴N′H= ,PH= ,
此時△AON的縱橫比λ= = ,
∴ ≤λ≤1+ .
【解析】解:
由題意△AOB的縱橫比λ1= ,△AOE的縱橫比λ2= =1,
所以答案是 ,1
【考點精析】掌握勾股定理的概念和切線的性質(zhì)定理是解答本題的根本,需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖.從下列四個條件:①BC=B′C,②AC=A′C,③∠A′CA=∠B′CB,④AB=A′B′中,任取三個為條件,余下的一個為結(jié)論,則最多可以構(gòu)成正確的結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】對于鈍角α,定義它的三角函數(shù)數(shù)值如下: sinα=sin(180°﹣α),cosα=﹣cos(180°﹣α).
(1)求sin135°,cos150°的值;
(2)若一個三角形的三個內(nèi)角的比為1:1:4,A,B是這個三角形的兩個頂點,且∠A≤∠B,sinA,cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的兩個不相等的實數(shù)根,求m值及∠A,∠B的大小.
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【題目】某大型文體活動需招募一批學(xué)生作為志愿者參與服務(wù),已知報名的男生有420人,女生有400人,他們身高均在150≤x<175之間,為了解這些學(xué)生身高的具體分別情況,從中隨機抽取若干學(xué)生進行抽樣調(diào)查,抽取的樣本中,男生比女生多2人,利用所得數(shù)據(jù)繪制如下統(tǒng)計圖表:
組別 | 身高(cm) |
A | 150≤x<155 |
B | 155≤x<160 |
C | 160≤x<165 |
D | 165≤x<170 |
E | 170≤x<175 |
根據(jù)圖表提供的信息,有下列幾種說法
①估計報名者中男生身高的眾數(shù)在D組;
②估計報名者中女生身高的中位數(shù)在B組;
③抽取的樣本中,抽取女生的樣本容量是38;
④估計身高在160cm至170cm(不含170cm)的學(xué)生約有400人
其中合理的說法是( )
A.①②
B.①④
C.②④
D.③④
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【題目】直線y=﹣2x+4與x軸交于點A,與y軸交于點B,直線y=kx+b(k,b是常數(shù),k≠0)經(jīng)過點A,與y軸交于點C,且OC=OA.
(1)求點A的坐標及k的值;
(2)點C在x軸的上方,點P在直線y=﹣2x+4上,若PC=PB,求點P的坐標.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E在AB邊上,點F在BC邊的延長線上,且AE=CF
(1)求證:△AED≌△CFD;
(2)將△AED按逆時針方向至少旋轉(zhuǎn)多少度才能與△CFD重合,旋轉(zhuǎn)中心是什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,且點A的坐標為(﹣3,0),點C坐標為(0, ),點B在y軸的負半軸上,拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過點A和點C
(1)求b,c的值;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△ACQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由
(3)點P是線段AO上的一個動點,過點P作y軸的平行線交拋物線于點M,交AB于點E,探究:當點P在什么位置時,四邊形MEBC是平行四邊形,此時,請判斷四邊形AECM的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把大小和形狀完全相同的6張卡片分成兩組,每組3張,分別標上1、2、3,將這兩組卡片分別放入兩個盒子中攪勻,再從中隨機抽取一張.
(1)試求取出的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)的概率;
(2)若取出的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù),則甲勝;取出的兩張卡片數(shù)字之和為偶數(shù),則乙勝;試分析這個游戲是否公平?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,過點A(0,4)的圓的圓心坐標為C(2,0),B是第一象限圓弧上的一點,且BC⊥AC,拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過C、B兩點,與x軸的另一交點為D.
(1)點B的坐標為( , ),拋物線的表達式為;
(2)如圖2,求證:BD∥AC;
(3)如圖3,點Q為線段BC上一點,且AQ=5,直線AQ交⊙C于點P,求AP的長.
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