Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，DE∥AB，EC=2．

（1）若將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，連接AD，BE，在旋轉(zhuǎn)過程中，AD和BE又怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

（2）在（1）旋轉(zhuǎn)過程中，邊D′E′的中點(diǎn)為P，連接AP，當(dāng)AP最大時(shí)，求AD′的值．

（3）若點(diǎn)M為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且MA=4a，MB=5a，MC=3a，求∠AMC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）AD'=BE'，理由見解析；（2）2；（3）∠AMC=150°．

【解析】試題分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可判斷出△ACD≌△BCE'即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出點(diǎn)A，C，P三點(diǎn)共線，先求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；

（3）將△BMC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ANC，連接MN，只要證明△CMN是等邊三角形，△AMN是Rt△即可解決問題；

試題解析：（1）結(jié)論：AD'=BE'，

理由：當(dāng)α≠180°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠ACD'=∠BCE'，

由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，

∴△ACD'≌△BCE'，

∴AD'=BE'；

（2）如圖連接CP，

在△ACP中，由三角形三邊關(guān)系得，AP＜AC+CP，

∴當(dāng)點(diǎn)A，C，P三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大，

如圖1，在△D'CE'中，由P為D'E的中點(diǎn)，得AP⊥D'E'，PD'= ，

∴CP=3，

∴AP=6+3=9，

在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'= =2；

（3）將△BMC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ANC，連接MN，

∴CM=CN，BM=AN，△BCM≌△ACN，

∵ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠ACN=∠BCM，

∴∠MCN=60°，

∴△CMN是等邊三角形，

∴∠CMN=60°，MN=CM=6，

在△AMN中，∵AM2+MN2=（4a）2+（3a）2=（5a）2=AN2，

∴∠AMN=90°，

∴∠AMC=150°．