【題目】如圖,拋物線y=ax2+5x+c交x軸于A,B兩點,交y軸于點C,直線y=x﹣4經(jīng)過點B,C.P是直線BC上方拋物線上一動點,直線PC交x軸于D.
(1)直接寫出a,c的值;
(2)當△PBD的面積等于△BDC面積的一半時,求點P的坐標;
(3)當∠PBA=∠CBP時,直接寫出直線BP的解析式.
【答案】(1)a的值為﹣1,c的值為﹣4;(2)點P的坐標為(,﹣2)、(2,2)或(3,2);(3)y=﹣x+4或y=x+﹣2.
【解析】
(1)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點B,C的坐標,根據(jù)點B,C的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出a,c的值;
(2)利用三角形的面積公式結(jié)合S△PBD=S△BDC可得出點P的縱坐標為±2,再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標;
(3)設(shè)直線BP的解析式為y=mx+n(m≠0),延長BP交y軸于點E,分點P在x軸上方及點P在x軸下方兩種情況考慮:①當點P在x軸上方時,利用等腰三角形的性質(zhì)可得出點E的坐標,由點B,E的坐標,利用待定系數(shù)法可求出直線BP的解析式;②當點P在x軸下方時,過點E作EM⊥BC于點M,利用角與角之間的關(guān)系可得出∠CBE=30°,設(shè)OE=t,通過解直角三角形可求出BM,CM的值,結(jié)合BM+CM=BC=4可得出關(guān)于t的方程,解之即可得出點E的坐標,由點B,E的坐標,利用待定系數(shù)法可求出直線BP的解析式.綜上,此題得解.
解:(1)當x=0時,y=x﹣4=﹣4,
∴點C的坐標為(0,﹣4);
當y=0時,x﹣4=0,
解得:x=4,
∴點B的坐標為(4,0).
將B(4,0),C(0,﹣4)代入y=ax2+5x+c,得:
,解得:,
∴a的值為﹣1,c的值為﹣4.
(2)∵△PBC和△BCD有相同的底邊BD,S△PBD=S△BDC,
∴|yP|=﹣yC=2.
當y=﹣2時,﹣x2+5x﹣4=﹣2,
解得:x1=,x2=(舍去),
∴點P的坐標為(,﹣2);
當y=2時,﹣x2+5x﹣4=2,
解得:x1=2,x2=3,
∴點P的坐標為(2,2)或(3,2).
綜上所述:點P的坐標為(,﹣2)、(2,2)或(3,2).
(3)設(shè)直線BP的解析式為y=mx+n(m≠0),延長BP交y軸于點E,分兩種情況考慮:
①當點P在x軸上方時,如圖1所述.
∵∠PBA=∠CBP,
∴∠EBO=∠CBO,
∴點E的坐標為(0,4).
將B(4,0),E(0,4)代入y=mx+n,得:
,解得:,
∴直線BP的解析式為y=﹣x+4;
②當點P在x軸下方時,過點E作EM⊥BC于點M,如圖2所述.
∵OB=OC=4,
∴∠OBC=∠OCB=45°,BC=4.
∵∠PBA=∠CBP,
∴∠CBP=∠OBC=30°,即∠CBE=30°.
設(shè)OE=t,則BE==.
在Rt△BEM中,BM=BEcos30°=,EM=BEsin30°=.
在Rt△CEM中,CM==
∵BM+CM=BC,即+=4,
∴t=2﹣,
∴點E的坐標為(0,﹣2).
∴直線BP的解析式為y=x+﹣2.
綜上所述:直線BP的解析式為y=﹣x+4或y=x+﹣2.
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【題目】如圖,已知△ABC的邊AB是⊙O的切線,切點為B.AC經(jīng)過圓心O并與圓相交于點D、C,過C作直線CE⊥AB,交AB的延長線于點E.
(1)求證:CB平分∠ACE;
(2)若BE=,CE=2,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分線AD交BC邊于D.
(1)以AB邊上一點O為圓心,過A,D兩點作⊙O;(用圓規(guī)、直尺作圖,不寫作法,但要保留作圖痕跡)
(2)判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】拋物線與軸交于A,B兩點(A點在B點的左側(cè)),與y軸交于點C,拋物線的對稱軸為x=1.
(1)求拋物線的表達式;
(2)若CD∥x軸,點D在點C的左側(cè), ,求點D的坐標;
(3)在(2)的條件下,將拋物線在直線x=t右側(cè)的部分沿直線x=t翻折后的圖形記為G,若圖形G與線段CD有公共點,請直接寫出t的取值范圍.
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【題目】如圖,A,B分別在反比例函數(shù)(x<0)和(x>0)的圖象上,AB∥x軸,交y軸于點C.若△AOC的面積是△BOC面積的2倍.
(1)求k的值;
(2)當∠AOB=90°時,直接寫出點A,B的坐標.
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【題目】某市出租車起步價是5元(3千米及3千米以內(nèi)為起步價),以后每增加1千米加收1元,不足1千米按1千米收費.
(1)寫出收費y(元)與行駛里程x(千米)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)小黃在社會調(diào)查活動中,了解到一周內(nèi)某出租車載客307次,請補全如下條形統(tǒng)計圖,并求該出租車這7天運營收入的平均數(shù).
(3)如果出租車1天運營成本是60元,請根據(jù)(2)中數(shù)據(jù)計算出租車司機一個月的收入(以30天計).
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別在邊AB,BC,CD,DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.
(1)求證:△AEH≌△CGF.
(2)若∠EFG=90°.求證:四邊形EFGH是正方形.
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【題目】如圖,在△ABC中.以點B為圓心,以BC為半徑作弧,分別交AC、AB于點D,E,連接DE,若DE=DC,AE=4.AD=5,則=_____.
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【題目】已知△ABC的外角∠EAC的平分線AD交其外接圓⊙O于點D,連接DB,DC.
(1)如圖1,求證BD=CD;
(2)如圖2,若AC是⊙O的直徑,sin∠BDC=,求tan∠DBA的值.
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