【題目】如圖1,在ABCD中,DH⊥AB于點H,CD的垂直平分線交CD于點E,交AB于點F,AB=6,DH=4,BF:FA=1:5.
(1)如圖2,作FG⊥AD于點G,交DH于點M,將△DGM沿DC方向平移,得到△CG′M′,連接M′B.
①求四邊形BHMM′的面積;
②直線EF上有一動點N,求△DNM周長的最小值.
(2)如圖3,延長CB交EF于點Q,過點Q作QK∥AB,過CD邊上的動點P作PK∥EF,并與QK交于點K,將△PKQ沿直線PQ翻折,使點K的對應(yīng)點K′恰好落在直線AB上,求線段CP的長.
【答案】(1)①四邊形BHMM′的面積為7.5;②△DNM周長的最小值為9;(2)CP的長為或.
【解析】(1)①根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)進(jìn)行解答即可;
②連接CM交直線EF于點N,連接DN,利用勾股定理解答即可;
(2)分點P在線段CE上和點P在線段ED上兩種情況進(jìn)行解答.
(1)①在ABCD中,AB=6,直線EF垂直平分CD,
∴DE=FH=3,
又BF:FA=1:5,
∴AH=2,
∵Rt△AHD∽Rt△MHF,
∴,
即,
∴HM=1.5,
根據(jù)平移的性質(zhì),MM'=CD=6,連接BM,如圖1,
四邊形BHMM′的面積==7.5;
②連接CM交直線EF于點N,連接DN,如圖2,
∵直線EF垂直平分CD,
∴CN=DN,
∵MH=1.5,
∴DM=2.5,
在Rt△CDM中,MC2=DC2+DM2,
∴MC2=62+(2.5)2,
即MC=6.5,
∵MN+DN=MN+CN=MC,
∴△DNM周長的最小值為9;
(2)∵BF∥CE,
∴,
∴QF=2,
∴PK=PK'=6,
過點K'作E'F'∥EF,分別交CD于點E',交QK于點F',如圖3,
當(dāng)點P在線段CE上時,
在Rt△PK'E'中,
PE'2=PK'2﹣E'K'2,
∴PE′=2,
∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q,
∴,
即,
解得:QF′=,
∴PE=PE'﹣EE'=,
∴CP=,
同理可得,當(dāng)點P在線段DE上時,CP′=,,如圖4,
綜上所述,CP的長為或.
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【題目】如圖(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm,點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動,同時,點Q在線段BD上由點B向點D運動,他們的運動時間為t(s).
(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,當(dāng)t=1時,△ACP與△BPQ是否全等,請說明理由
(2)判斷此時線段PC和線段PQ的關(guān)系,并說明理由。
(3)如圖(2),將圖(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=60°”,其他條件不變,設(shè)點Q的運動速度為x cm/s,是否存在實數(shù)x,使得△ACP與△BPQ全等?若存在,求出相應(yīng)的x、t的值;若不存在,請說明理由。
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【題目】如圖,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F,過點F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,下列結(jié)論正確的是( )
①BD=CE②△BDF,△CEF都是等腰三角形③BD+CE=DE④△ADE的周長為AB+AC.
A.①②B.③④C.①②③D.②③④
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【題目】某班參加一次智力競賽,共a、b、c三題,每題或者得滿分或者得0分,其中題a滿分20分,題b、題c滿分均為25分.競賽結(jié)果,每個學(xué)生至少答對了一題,三題全答對的有1人,答對其中兩道題的有15人,答對題a的人數(shù)與答對題b的人數(shù)之和為29,答對題a的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為25,答對題b的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為20,在這個班的平均成績是__分.
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【題目】問題情境:綜合實踐活動課上,同學(xué)們圍繞“已知三角形三邊的長度,求三角形的面積”開展活動,啟航小組同學(xué)想到借助正方形網(wǎng)格解決問題
問題解決:圖(1)、圖(2)都是6×6的正方形網(wǎng)格,每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點,操作發(fā)現(xiàn),啟航小組同學(xué)在圖(1)中畫出△ABC,其頂點A,B,C都在格點上,同時構(gòu)造長方形CDEF,使它的頂點都在格點上,且它的邊EF經(jīng)過點A,ED經(jīng)過點B.同學(xué)們借助此圖求出了△ABC的面積.
(1)在圖(1)中,△ABC的三邊長分別是AB= ,BC= ,AC= .△ABC的面積是 .
(2)已知△PMN中,PM=,MN=2,NP=.請你根據(jù)啟航小組的思路,在圖(2)中畫出△PMN,并直接寫出△RMN的面積 .
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【題目】一個不透明的盒子里裝有30個除顏色外其它均相同的球,其中紅球有m個,白球有3m個,其它均為黃球.現(xiàn)小李從盒子里隨機(jī)摸出一個球,若是紅球,則小李獲勝;小李把摸出的球放回盒子里搖勻,由小馬隨機(jī)摸出一個球,若為黃球,則小馬獲勝.
(1)當(dāng)m=4時,求小李摸到紅球的概率是多少?
(2)當(dāng)m為何值時,游戲?qū)﹄p方是公平的?
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【題目】如圖 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,D 是 BC 上的一點,過點 D 作 DE⊥AB,垂足為點 E,F 為 AD 的中點,連接 CF、EF.
(1)猜想CF與EF的關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖2,連接BF,若∠AEF=30°,求∠BFE 的度數(shù).
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【題目】菱形的邊長為,,、分別是、的中點,、分別在、上,且.
求證:四邊形是平行四邊形;
當(dāng)四邊形是菱形時,求的長;
當(dāng)四邊形是矩形時,求此時點到點的距離.
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【題目】下列圖形是由大小、形狀相同的“小等邊三角形”按照一定的規(guī)律組成,其中第1幅圖中有3個小等邊三角形,第2幅圖中有8個小邊三角形,第3幅圖中有15個小等邊三角形,依此類推,則第10幅圖中有( 。﹤小等邊三角形.
A.63B.80C.99D.120
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