【題目】在ABCD中,E、F分別是AB、CD的中點,AF與DE相交于點G,CE與BF相交于點H.

(1)求證:四邊形EHFG是平行四邊形;
(2)若四邊形EHFG是矩形,則ABCD應滿足什么條件?(不需要證明)

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AE∥CF,AB=CD,

∵E是AB中點,F(xiàn)是CD中點,

∴AE=CF,

∴四邊形AECF是平行四邊形,

∴AF∥CE.

同理可得DE∥BF,

∴四邊形FGEH是平行四邊形


(2)解:當平行四邊形ABCD是矩形,并且AB=2AD時,平行四邊形EHFG是矩形.

∵E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點,且AB=CD,

∴AE=DF,且AE∥DF,

∴四邊形AEFD為平行四邊形,

∴AD=EF,

又∵AB=2AD,E為AB中點,則AB=2AE,

于是有AE=AD= AB,

這時,EF=AE=AD=DF= AB,∠EAD=∠FDA=90°,

∴四邊形ADFE是正方形,

∴EG=FG= AF,AF⊥DE,∠EGF=90°,

∴此時,平行四邊形EHFG是矩形.


【解析】(1)通過證明兩組對邊分別平行,可得四邊形EHFG是平行四邊形;
(2)當平行四邊形ABCD是矩形,并且AB=2AD時,先證明四邊形ADFE是正方形,得出有一個內(nèi)角等于90°,從而證明菱形EHFG為一個矩形.

【考點精析】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)和矩形的判定方法對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積;有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形;有三個角是直角的四邊形是矩形;兩條對角線相等的平行四邊形是矩形.

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.

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