Question

【題目】在ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，AF與DE相交于點G，CE與BF相交于點H．

（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）若四邊形EHFG是矩形，則ABCD應滿足什么條件？（不需要證明）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥CF，AB=CD，

∵E是AB中點，F(xiàn)是CD中點，

∴AE=CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴AF∥CE．

同理可得DE∥BF，

∴四邊形FGEH是平行四邊形

（2）解：當平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時，平行四邊形EHFG是矩形．

∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，且AB=CD，

∴AE=DF，且AE∥DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

∴AD=EF，

又∵AB=2AD，E為AB中點，則AB=2AE，

于是有AE=AD= AB，

這時，EF=AE=AD=DF= AB，∠EAD=∠FDA=90°，

∴四邊形ADFE是正方形，

∴EG=FG= AF，AF⊥DE，∠EGF=90°，

∴此時，平行四邊形EHFG是矩形．

【解析】（1）通過證明兩組對邊分別平行，可得四邊形EHFG是平行四邊形；
（2）當平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時，先證明四邊形ADFE是正方形，得出有一個內(nèi)角等于90°，從而證明菱形EHFG為一個矩形．

【考點精析】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)和矩形的判定方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．