Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x﹣2經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為腰的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x﹣2；D（， ）；（2）G（0， ），（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）或（，﹣）．

【解析】試題分析：（1）先由直線y=x﹣2與x軸的交點(diǎn)求出A點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出求拋物線解析式即可；

（2）作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接BB'，交y軸于點(diǎn)G，則B'（﹣1，0），用待定系數(shù)法求出直線B'D的解析式，再求與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）分AP=AB和BP=AB=3兩種情況求解.

解：（1）把x=0代入直線y=x﹣2中，y=﹣2，

∴C（0，﹣2），

把y=0代入直線y=x﹣2中，x=4，

∴A（4，0），

把A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入拋物線y=ax2+bx+c中得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x﹣2=﹣（x2﹣5x+﹣）﹣2=﹣（x﹣）2+，

∴頂點(diǎn)D（，），

（2）存在，

如圖1，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接BB'，交y軸于點(diǎn)G，則B'（﹣1，0），

設(shè)直線B'D的解析式為：y=kx+b，

則，解得：，

∴直線B'D的解析式為：y=x+，

∴G（0，），

∴存在點(diǎn)G（0，），使得GD+GB的值最小；

（3）∵對(duì)稱軸x=，且A（4，0），B（1，0），

設(shè)P（，m），且AB=4﹣1=3，

分兩種情況：

①當(dāng)AP=AB=3時(shí)，即AP==3，

解得：m=±，

②當(dāng)BP=AB=3時(shí)，即BP==3，

解得：m=，

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．