【題目】如圖1,已知拋物線y=ax2﹣2x+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(A點在B點左側),與y軸交于點C(0,﹣3),對稱軸是直線x=1,△ACB的外接圓M交y軸的正半軸與點D,連結AD、CM,并延長CM交x軸于點E.
(1)求拋物線的函數表達式和直線BC的函數表達式;
(2)求證:△CAD∽△CEB;
(3)如圖2,P為x軸正半軸上的一個動點,OP=t,(0<t<3),過P點與y軸平行的直線交拋物線與點Q,若△QAD的面積為S,寫出S與t的函數表達式,問:當t為何值時,△QAD的面積最大,且最大面積為多少?
【答案】(1),BC:;(2)見解析;(3),時,.
【解析】
(1)先根據圖像得到a,c的值,進而可得到A、B兩點的坐標,再求出函數解析式即可;(2)如圖,連結AM,根據同弧所對的圓周角相等得到∠ADC=∠ABC=45°,根據圓周角定理可得∠AMC=90°,進而得到∠ACE=45°,所以∠ACD =∠ECB=45°-∠ECD,即可證明△ACD∽△ECB;(3)根據題意易得△AOF∽△APQ,再根據對應邊成比例得到OF與PQ的關系,將Q點橫坐標代入拋物線方程求出PQ的長度,進而求出OF的長度,再根據S=S△ADF+S△QDF求出S與t的函數表達式,再求出最大值即可.
解:(1)∵拋物線的對稱軸是x=1,
∴=1,∴a=1
由圖像易知c=-3,所以拋物線解析式為, B(3,0),A(-1,0),C(0,-3)
設直線BC的函數表達式為:y=kx+b,
則,解得:k=1,b=-3,
∴直線BC的解析式為 ;
(2)如圖,連結AM,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°,
∴∠ADC =∠OBC=45°,∠AMC=90°,
又∵AM=CM,∴∠ACE=45°,
∴∠ACD =∠ECB=45°-∠ECD,
∴△ACD∽△ECB
(3)∵PQ∥y軸,∴△AOF∽△APQ,
∴.
∴,
∵PQ=,∴,
∴S=S△ADF+S△QDF=
整理得,
化為頂點式得S=﹣(t-)2+,∴當 .
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【題目】在平面直角坐標系中,我們定義:橫坐標與縱坐標均為整數的點為整點如圖,已知雙曲線經過點,記雙曲線與兩坐標軸之間的部分為(不含雙曲線與坐標軸).
(1)求的值;
(2)求內整點的個數;
(3)設點在直線上,過點分別作平行于軸軸的直線,交雙曲線于點,記線段、雙曲線所圍成的區(qū)域為,若內部(不包括邊界)不超過個整點,求的取值范圍.
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【題目】某校為了了解學生家長對孩子使用手機的態(tài)度情況,隨機抽取部分學生家長進行問卷調查,發(fā)出問卷140份,每位學生的家長1份,每份問卷僅表明一種態(tài)度.將回收的問卷進行整理(假設回收的問卷都有效),并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
學生家長對孩子使用手機的態(tài)度情況統(tǒng)計圖
根據以上信息回答下列問題:
(1)回收的問卷數為 份,“嚴加干涉”部分對應扇形的圓心角度數為 ;
(2)把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若將“稍加詢問”和“從來不管”視為“管理不嚴”,已知全校共1500名學生,請估計該校對孩子使用手機“管理不嚴”的家長大約有多少人?
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【題目】某學校準備組織八年級學生春游,供學生選擇的春游地點分別是:植物園、太陽島、東北虎林園.每名學生只能選擇其中一個春游地點(必選且只選一個).該校從八年級學生中隨機抽取了a名學生,對他們選擇春游地點的情況進行調查,并根據調查結果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖.
(1)求a的值.
(2)求a名學生中選擇去植物園春游的人數占所抽取人數的百分比是多少?
(3)如果該校八年級有440名學生,請你估計選擇去太陽島春游的學生有多少名?
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【題目】實驗中學現(xiàn)有學生2 870人,學校為了進一步豐富學生課余生活,擬調查各興趣小組活動情況,為此校學生會委托小容、小易進行一次隨機抽樣調查.根據采集到的數據,小容繪制的統(tǒng)計圖1,小易繪制的統(tǒng)計圖2(不完整)如下:
請你根據統(tǒng)計圖1、2中提供的信息,解答下列問題:
(1)寫出2條有價值信息(不包括下面要計算的信息);
(2)這次抽樣調查的樣本容量是多少?在圖2中,請將小易畫的統(tǒng)計圖中的“體育”部分的圖形補充完整;
(3)愛好“書畫”的人數占被調查人數的百分數是多少?估計實驗中學現(xiàn)有的學生中,有多少人愛好“書畫”?
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【題目】為了解九年級學生的體能狀況,從我校九年級學生中隨機抽取部分學生進行八百米跑體能測試,測試結果分為A,B,C,D四個等級,請根據兩幅圖中的信息回答下列問題:
(1)求本次測試共調查了 名學生,補全條形統(tǒng)計圖;
(2)B等級人數對應扇形統(tǒng)計圖的圓心角的大小為 ;
(3)我校九年級共有2100名學生,請你估計九年級學生中體能測試結果為C等級的學生有多少人?
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【題目】二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,對稱軸是直線x=1,以下結論:①2a+b=0;②b+2c<0;③4a+2b+c<0;④若(0,y1),(1.5,y2)是拋物線上的兩點,那么y1<y2.其中正確的是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
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【題目】已知直線l經過A(6,0)和B(0,12)兩點,且與直線y=x交于點C,點P(m,0)在x軸上運動.
(1)求直線l的解析式;
(2)過點P作l的平行線交直線y=x于點D,當m=3時,求△PCD的面積;
(3)是否存在點P,使得△PCA成為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】在下列正多邊形中,是中心,定義:為相應正多邊形的基本三角形.如圖1,是正三角形的基本三角形;如圖2,是正方形的基本三角形;如圖3,為正邊形…的基本三角形.將基本繞點逆時針旋轉角度得.
(1)若線段與線段相交點,則:
圖1中的取值范圍是________;
圖3中的取值范圍是________;
(2)在圖1中,求證
(3)在圖2中,正方形邊長為4,,邊上的一點旋轉后的對應點為,若有最小值時,求出該最小值及此時的長度;
(4)如圖3,當時,直接寫出的值.
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