Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝ax2﹣2x+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(A點在B點左側)，與y軸交于點C(0，﹣3)，對稱軸是直線x＝1，△ACB的外接圓M交y軸的正半軸與點D，連結AD、CM，并延長CM交x軸于點E．

(1)求拋物線的函數表達式和直線BC的函數表達式；

(2)求證：△CAD∽△CEB；

(3)如圖2，P為x軸正半軸上的一個動點，OP＝t，(0＜t＜3)，過P點與y軸平行的直線交拋物線與點Q，若△QAD的面積為S，寫出S與t的函數表達式，問：當t為何值時，△QAD的面積最大，且最大面積為多少？

Answer 1

【答案】（1），BC：；（2）見解析；（3），時，.

【解析】

（1）先根據圖像得到a，c的值，進而可得到A、B兩點的坐標，再求出函數解析式即可；（2）如圖，連結AM，根據同弧所對的圓周角相等得到∠ADC＝∠ABC＝45°，根據圓周角定理可得∠AMC＝90°，進而得到∠ACE＝45°，所以∠ACD =∠ECB=45°-∠ECD，即可證明△ACD∽△ECB；（3）根據題意易得△AOF∽△APQ，再根據對應邊成比例得到OF與PQ的關系，將Q點橫坐標代入拋物線方程求出PQ的長度，進而求出OF的長度，再根據S＝S△ADF＋S△QDF求出S與t的函數表達式，再求出最大值即可.

解：（1）∵拋物線的對稱軸是x＝1，

∴＝1，∴a=1

由圖像易知c=-3，所以拋物線解析式為， B(3,0)，A(-1,0)，C（0，-3）

設直線BC的函數表達式為：y=kx+b，

則，解得：k=1，b=-3，

∴直線BC的解析式為 ；

（2）如圖，連結AM，

∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∴∠ADC =∠OBC=45°，∠AMC＝90°，

又∵AM＝CM，∴∠ACE＝45°，

∴∠ACD =∠ECB=45°-∠ECD，

∴△ACD∽△ECB

（3）∵PQ∥y軸，∴△AOF∽△APQ，

∴.

∴，

∵PQ=，∴，

∴S＝S△ADF＋S△QDF＝

整理得，

化為頂點式得S＝﹣（t－）2＋，∴當 .